Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(25) integral d x(1+x^2) arctan x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que parece mais complicada, que é u = arctan x . Vamos tentar usar a substituição para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável para substituir .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 11 + x^2 em relação a para substituir na integral. A derivada de é:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para dx = (1 + x^2) du :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral dx(1 + x^2) arctan x = integral (1 + x^2) du(1 + x^2) u e na integral original:

Passo 6

Simplificando a expressão, os termos integral duu se cancelam:

Passo 7

A integral de ln |u| + C em relação a é o logaritmo natural de mais a constante de integração :

Passo 8

Agora, vamos substituir ln |arctan x| + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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