Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(20) integral arctan x d x1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver. O exercício pede para calcular a integral de arctan x1 + x^2 usando o método da substituição. Isso significa que vamos transformar essa integral complicada em algo mais simples usando uma substituição adequada.

Passo 2

O próximo passo é escolher uma parte da função para substituir por uma variável mais fácil de lidar. Observa que temos arctan x no numerador e 1 + x^2 no denominador. Sabemos que a derivada de arctan x é 11 + x^2. Isso é uma dica de que podemos usar u = arctan x como nossa substituição.

Passo 3

Vamos definir a substituição:
u = arctan x
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x para achar du:
dudx = 11 + x^2 Rightarrow du = dx1 + x^2

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos dx1 + x^2, que é exatamente du. Então podemos reescrever a integral em termos de u:
integral arctan x1 + x^2 dx = integral u , du

Passo 5

Agora, a integral ficou muito mais simples! Sabemos que:
integral u , du = u^22 + C
Aqui, C é a constante de integração, que aparece sempre que integramos.

Passo 6

Por fim, precisamos voltar para a variável original, substituindo u por arctan x:
u^22 + C = (arctan x)^22 + C

Resposta

A integral é igual a (arctan x)^22 + C, onde C é a constante de integração.

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