Calcule as Derivadas parciais indicadas f(x, y) = 2*x^2*y^3*z^3 + x*y + x*z^2 - 1 f_x(1, 2, 3) e f_z(-1, 0, 5)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função de várias variáveis, que no caso é . A tarefa é calcular duas derivadas parciais específicas: a derivada de f em relação a x quando , ou seja, , e a derivada de f em relação a z quando , que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que basicamente mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, . Para fazer isso, tratamos y e z como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a x.
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. : A derivada em relação a x é .
  2. xy: A derivada em relação a x é y.
  3. : A derivada em relação a x é z^2.
  4. -1: A derivada de uma constante é 0.
Então, a derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores na expressão que encontramos para :
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z, ou seja, . Aqui, tratamos x e y como constantes e derivamos cada termo da função com respeito a z.
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo:
  1. : A derivada em relação a z é .
  2. xy: A derivada em relação a z é 0, já que não há z nesse termo.
  3. : A derivada em relação a z é .
  4. -1: A derivada de uma constante é 0.
Então, a derivada parcial é:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na expressão que encontramos para :
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando:
Então:

Resposta

A derivada parcial é e a derivada parcial é .

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