Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42) integral cos x d xa^2+sin ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente precisa calcular a integral de cos xa^2+sin^2 x em relação a x. Esse tipo de integral usa o método da substituição, que é uma técnica de cálculo pra simplificar integrais complicadas. Vamos precisar usar essa técnica pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador a^2 + sin^2 x, uma boa ideia é deixar u = sin x. Assim, a gente tem:
u = sin x

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x pra achar du:
dudx = cos x du = cos x , dx
Perceba que cos x , dx está no numerador da nossa integral, que é exatamente du. Então, podemos substituir na integral:
integral cos x , dxa^2 + sin^2 x = integral dua^2 + u^2

Passo 4

A integral integral dua^2 + u^2 é uma forma padrão que sabemos como resolver. A fórmula é:
integral dua^2 + u^2 = 1a tan^-1(ua) + C
Então aplicando isso, temos:
integral dua^2 + u^2 = 1a tan^-1(ua) + C

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original, substituindo u = sin x:
1a tan^-1(sin xa) + C

Resposta

A integral é igual a 1a tan^-1(sin xa) + C.

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