Se f for uma função diferenciável e a e b forem constantes, verifique que z=f(12 b x^2-13 a y^3) satisfaz a equação diferencial
a y^2 partial zpartial x+b x partial zpartial y=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável z = f(12 b x^2 - 13 a y^3) e constantes a y^2 partial zpartial x + b x partial zpartial y = 0 e . Precisamos verificar se a função
satisfaz a equação diferencial
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia e, em seguida, substituir na equação diferencial para verificar se ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot partialpartial x(12 b x^2 - 13 a y^3) em relação a partialpartial x(12 b x^2) = b x , ou seja, partialpartial x(-13 a y^3) = 0 . Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de partial zpartial x = f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot b x em relação a é a derivada de em relação ao seu argumento multiplicada pela derivada do argumento em relação a .
Então,
Calculando a derivada dentro:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot partialpartial y(12 b x^2 - 13 a y^3) em relação a partialpartial y(12 b x^2) = 0 , ou seja, partialpartial y(-13 a y^3) = -a y^2 . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial y = f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot (-a y^2)
Calculando a derivada dentro:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos substituir as derivadas parciais encontradas na equação diferencial dada:
a y^2 partial zpartial x + b x partial zpartial y = a y^2 [ f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot b x ] + b x [ f'(12 b x^2 - 13 a y^3) cdot (-a y^2) ]
Vamos simplificar:
= a y^2 b x f' + b x (-a y^2) f'
= a b x y^2 f' - a b x y^2 f'
= 0

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial dada.

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