Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências: an = raiz(1 + 1/n^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Além disso, se convergir, devemos calcular o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites de sequências e propriedades das funções contínuas, como a raiz quadrada.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que dentro da raiz quadrada temos . À medida que fica maior, se aproxima de zero porque o denominador cresce muito rapidamente.

Passo 3

Portanto, podemos calcular o limite da parte interna:
Agora, aplicando a função raiz quadrada, que é contínua, podemos passar o limite para fora:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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