Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -y, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = x^3 + 1, x = 0, x = 2 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume de sólidos de rotação. A gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas , pelas retas , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas da matéria de integrais aplicadas a volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. As curvas são , que é uma função cúbica, e as retas verticais e , além da reta horizontal .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo , é mais fácil usar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve integrar ao longo do eixo , considerando a altura e a circunferência de cada “casca”.

Passo 4

A fórmula para o volume usando as cascas cilíndricas é:
onde:
  • é a distância do eixo de rotação,
  • é a altura da casca,
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Aqui, e (os limites de ). A altura da casca é a diferença entre a função superior e a inferior na região. A função superior é e a inferior é . Então:

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando:
Como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar a constante .

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 10

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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