Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(48) integral cos x d xraiz[3]sin ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que, se substituída por uma nova variável, simplifica a resolução. Aqui, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: . Notamos que temos uma função trigonométrica no numerador ( ) e outra no denominador ( ). Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = sin x como sendo a função dentro da raiz cúbica no denominador. Então, seja:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada:
dudx = cos x
Isso significa que:
du = cos x , dx
Perfeito! Observamos que aparece na integral original, o que facilita a substituição.

Passo 5

Substituindo integral cos x , dxraiz[3]sin^2 x = integral duraiz[3]u^2 e na integral original, temos:
Isso simplifica a integral para termos em função de , facilitando o cálculo.

Passo 6

Agora, vamos reescrever raiz[3]u^2 = u^2/3 em termos de potências para simplificar a expressão:
integral duu^2/3 = integral u^-2/3 , du
Então, a integral fica:

Passo 7

Para integrar integral u^-2/3 , du = u^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = u^1/31/3 + C = 3u^1/3 + C , usamos a regra da potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração, desde que .
Aqui, , então:

Passo 8

Agora, substituímos 3u^1/3 + C = 3(sin x)^1/3 + C de volta para a variável original . Lembrando que :

Resposta

A integral integral cos x , dxraiz[3]sin^2 x = 3, raiz[3]sin x + C é igual a , onde é a constante de integração.

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