Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(51) integral raiz[3]tan ^2 x d xcos ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é calcular a integral:
integral raiz[3]tan^2 x , dxcos^2 x
Vamos usar o método da substituição para resolver isso. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a substituição em integrais e algumas propriedades básicas das funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da integral. Observamos que:
raiz[3]tan^2 x = (tan x)^2/3
E também sabemos que:
1cos^2 x = sec^2 x
Então, nossa integral fica assim:
integral (tan x)^2/3 cdot sec^2 x , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a resolução.
Vamos definir:
u = tan x

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a derivada de dudx = sec^2 x em relação a du = sec^2 x , dx :
Isso significa que:

Passo 5

Agora, substituímos integral u^2/3 , du e na nossa integral original. Ficamos com:
Isso simplifica bastante a integração!

Passo 6

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^2/3 , du = u^5/35/3 + C = 35u^5/3 + C . A regra da potência para integrais diz que:
Aplicando isso aqui:

Passo 7

Por último, substituímos 35 (tan x)^5/3 + C de volta para termos em :

Resposta

A integral é igual a:
35 tan^5/3x + C

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