Determine as Derivadas solicitadas em cada caso:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e a derivada de funções compostas (regra da cadeia).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada da função logarítmica natural
em relação a
é
. Quando temos uma função composta, como
, aplicamos a regra da cadeia: a derivada é
multiplicada pela derivada de
em relação à variável de interesse.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Primeiro, identificamos
. A derivada de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é 0.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Novamente, temos
. A derivada de
em relação a
é
, já que
não depende de
e a derivada de
é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e