Determine as Derivadas solicitadas em cada caso: f(x, y) = ln(6 * x^3 - 5 * y) f_x(x, y) e f_y(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e a derivada de funções compostas (regra da cadeia).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada da função logarítmica natural em relação a é . Quando temos uma função composta, como , aplicamos a regra da cadeia: a derivada é multiplicada pela derivada de em relação à variável de interesse.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que é .
Primeiro, identificamos . A derivada de em relação a é , porque a derivada de é e a derivada de em relação a é 0.
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
Novamente, temos . A derivada de em relação a é , já que não depende de e a derivada de é .
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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