Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
Caso 2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes do enunciado:
A tarefa é determinar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional e apresentar a constante de integração no final.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a função racional é própria, ou seja, se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Aqui o grau do numerador é
e o grau do denominador é
, então é própria — não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição em frações parciais.
Explicação didática rápida do método: quando temos uma fração racional com fatores lineares no denominador, escrevemos uma soma de termos simples cuja soma reproduz a fração original. Para um fator linear simples
usamos termo
. Para um fator linear repetido como
usamos termos
. Assim, por causa de
e de
, a forma geral da decomposição é
onde
são constantes reais a determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade anterior pelo denominador comum
para obter uma identidade polinomial que vale para todo
(exceto onde o denominador original é zero):
Vou expandir o lado direito para ter uma forma polinomial comparável ao lado esquerdo:
Somando:
Passo 4
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (ou usamos escolhas convenientes de
) para achar
. Uma maneira muito prática é avaliar a identidade em valores de
que zere termos, por exemplo
e
.
Avaliação em
:
logo
Avaliação em
:
No RHS,
anula dois termos, restando
. Portanto
Passo 5
Com
e
podemos obter
usando o coeficiente do termo em
(ou qualquer outra equação da identidade). Da igualdade de coeficientes do termo em
obtivemos acima:
Substituindo
dá
Confirmação rápida (checar coeficiente de
):
, que coincide com o coeficiente de
do lado esquerdo — está consistente.
Passo 6
Temos então a decomposição final:
Agora integramos termo a termo. Lembrete das fórmulas de integração que vamos usar:
No nosso caso
, cuja antiderivada é
.
Passo 7
Aplicando as integrais aos três termos separadamente:
Somando os resultados e incluindo a constante de integração obtemos a primitiva pedida (vou deixar a forma final consolidada na seção de resposta).