Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)}\,dx.
Informações importantes do enunciado:
\text{numerador: }x^{2}+1,\qquad \text{denominador: }x^{2}(x+1).
A tarefa é determinar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional e apresentar a constante de integração no final.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a função racional é própria, ou seja, se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Aqui o grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3, então é própria — não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição em frações parciais.
Explicação didática rápida do método: quando temos uma fração racional com fatores lineares no denominador, escrevemos uma soma de termos simples cuja soma reproduz a fração original. Para um fator linear simples (x+a) usamos termo \dfrac{C}{x+a}. Para um fator linear repetido como x^{2} usamos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Assim, por causa de x^{2} e de (x+1), a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes reais a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade anterior pelo denominador comum x^{2}(x+1) para obter uma identidade polinomial que vale para todo x (exceto onde o denominador original é zero):
x^{2}+1 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Vou expandir o lado direito para ter uma forma polinomial comparável ao lado esquerdo:
A\cdot x(x+1) = A x^{2}+A x,\qquad B\cdot (x+1)=B x + B,\qquad C\cdot x^{2}=C x^{2}.
Somando:
x^{2}+1 = (A+C)\,x^{2} + (A+B)\,x + B.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes dos polinômios (ou usamos escolhas convenientes de x) para achar A,B,C. Uma maneira muito prática é avaliar a identidade em valores de x que zere termos, por exemplo x=0 e x=-1.
Avaliação em x=0:
0^{2}+1 = 1 = B,
logo
B=1.
Avaliação em x=-1:
(-1)^{2}+1 = 1+1 = 2.
No RHS, x+1=0 anula dois termos, restando C\cdot (-1)^{2}=C. Portanto
C=2.

Passo 5

Com B=1 e C=2 podemos obter A usando o coeficiente do termo em x (ou qualquer outra equação da identidade). Da igualdade de coeficientes do termo em x obtivemos acima:
A+B = 0.
Substituindo B=1
A+1=0 \implies A=-1.
Confirmação rápida (checar coeficiente de x^{2}): A+C = -1+2=1, que coincide com o coeficiente de x^{2} do lado esquerdo — está consistente.

Passo 6

Temos então a decomposição final:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x+1}.
Agora integramos termo a termo. Lembrete das fórmulas de integração que vamos usar:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C,\qquad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\ \text{(para }n\neq -1),
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C.
No nosso caso \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}, cuja antiderivada é \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}.

Passo 7

Aplicando as integrais aos três termos separadamente:
\int \frac{-1}{x}\,dx = -\ln|x|,
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x},
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Somando os resultados e incluindo a constante de integração obtemos a primitiva pedida (vou deixar a forma final consolidada na seção de resposta).

Resposta

-\ln|x|-\frac{1}{x}+2\ln|x+1|+C

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