Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
Caso 2
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede que a calculemos pelo método das Frações Parciais. Informações relevantes: o numerador é
e o denominador é
. O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Por que usar frações parciais aqui? Porque o denominador é um fator linear repetido,
. Para uma fatoração
a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
são constantes a determinar. Não estamos resolvendo nada ainda, apenas escrevendo a forma geral da decomposição exigida pelo método.
Passo 3
Para determinar
é conveniente simplificar a notação usando a substituição
. Então
. Vou transformar a integral e a decomposição em termos de
. Primeiro, reescrevo o numerador:
O denominador fica
. Portanto a integral vira
A decomposição em frações parciais (em
) corresponde a
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma igualdade de polinômios:
Agora comparo coeficientes dos dois polinômios (do lado esquerdo só aparecem termos em
e constantes). Igualando coeficientes:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo independente:
.
Logo a decomposição é
Passo 5
Agora integro termo a termo. Lembrando a regra geral de integração de potências: para uma variável
e um expoente
,
Aqui temos potências negativas:
e
. Aplico a regra com
e
.
Integro
:
Integro
:
Somando as duas contribuições e adicionando a constante de integração
, obtemos uma primitiva em
:
Passo 6
Volto à variável original
usando
. Substituindo
e
, a antiderivada fica
Posso também escrever de maneira equivalente