Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
\int \frac{2 x+3}{(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int \frac{2x+3}{(x-1)^{3}}\,dx
e pede que a calculemos pelo método das Frações Parciais. Informações relevantes: o numerador é 2x+3 e o denominador é (x-1)^{3}. O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Por que usar frações parciais aqui? Porque o denominador é um fator linear repetido, (x-1)^{3}. Para uma fatoração (x-a)^{3} a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{2x+3}{(x-1)^{3}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}},
onde A,B,C são constantes a determinar. Não estamos resolvendo nada ainda, apenas escrevendo a forma geral da decomposição exigida pelo método.

Passo 3

Para determinar A,B,C é conveniente simplificar a notação usando a substituição u=x-1. Então x=u+1. Vou transformar a integral e a decomposição em termos de u. Primeiro, reescrevo o numerador:
2x+3=2(u+1)+3=2u+5.
O denominador fica u^{3}. Portanto a integral vira
\int \frac{2u+5}{u^{3}}\,du.
A decomposição em frações parciais (em u) corresponde a
\frac{2u+5}{u^{3}}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u^{2}}+\frac{C}{u^{3}}.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por u^{3} para eliminar denominadores e obter uma igualdade de polinômios:
2u+5 = A u^{2} + B u + C.
Agora comparo coeficientes dos dois polinômios (do lado esquerdo só aparecem termos em u e constantes). Igualando coeficientes:
  • coeficiente de u^{2}: A=0,
  • coeficiente de u: B=2,
  • termo independente: C=5.
Logo a decomposição é
\frac{2u+5}{u^{3}}=\frac{0}{u}+\frac{2}{u^{2}}+\frac{5}{u^{3}}=\frac{2}{u^{2}}+\frac{5}{u^{3}}.

Passo 5

Agora integro termo a termo. Lembrando a regra geral de integração de potências: para uma variável u e um expoente n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos potências negativas: u^{-2} e u^{-3}. Aplico a regra com n=-2 e n=-3.
Integro \displaystyle \frac{2}{u^{2}}=2u^{-2}:
\int 2u^{-2}\,du=2\cdot\int u^{-2}\,du=2\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-2u^{-1}.
Integro \displaystyle \frac{5}{u^{3}}=5u^{-3}:
\int 5u^{-3}\,du=5\cdot\int u^{-3}\,du=5\cdot\frac{u^{-2}}{-2}=-\frac{5}{2}u^{-2}.
Somando as duas contribuições e adicionando a constante de integração C, obtemos uma primitiva em u:
-2u^{-1}-\frac{5}{2}u^{-2}+C.

Passo 6

Volto à variável original x usando u=x-1. Substituindo u^{-1}=(x-1)^{-1} e u^{-2}=(x-1)^{-2}, a antiderivada fica
-\,\frac{2}{x-1}-\frac{5}{2}\,\frac{1}{(x-1)^{2}}+C.
Posso também escrever de maneira equivalente
-\,\frac{2}{x-1}-\frac{5}{2(x-1)^{2}}+C.

Resposta

-\,\frac{2}{x-1}-\frac{5}{2(x-1)^{2}}+C

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