Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
Caso 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral pelo método das frações parciais:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- O integrando é a função racional
. - O denominador já está fatorado em fatores lineares distintos:
e . - Precisamos decompor a função em frações mais simples (parciais) e depois integrar termo a termo para obter a primitiva.
Passo 2
Verificação inicial e ideia do método (sem resolver ainda):
- Para usar frações parciais, a função racional deve ser própria, ou seja, o grau do numerador menor que o grau do denominador. Aqui o numerador tem grau
e o denominador tem grau , então já é própria — ótimo. - Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, a forma da decomposição é
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar.
Passo 3
Como achar
e
: multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores. Isso dá a identidade (igualdade de polinômios):
Isto significa que para todo
os dois lados são iguais; agora encontramos
e
.
Passo 4
Resolvendo a identidade de forma simples (método do “plug-in” ou cover-up):
- Escolha
. Substituindo em obtemos
logo
- Escolha
. Substituindo:
ou seja
Passo 5
Agora reescrevemos a integral usando os valores de
e
:
Portanto
Passo 6
Integração termo a termo; lembra que a integral de
é
(isso vem da substituição
e da primitiva de
):
- Integramos cada parcela:
Somando (e juntando constantes
numa única constante
) resulta