Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{3 x+5}{(x-1)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral pelo método das frações parciais:
\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • O integrando é a função racional \dfrac{3x+5}{(x-1)(x+2)}.
  • O denominador já está fatorado em fatores lineares distintos: (x-1) e (x+2).
  • Precisamos decompor a função em frações mais simples (parciais) e depois integrar termo a termo para obter a primitiva.

Passo 2

Verificação inicial e ideia do método (sem resolver ainda):
  • Para usar frações parciais, a função racional deve ser própria, ou seja, o grau do numerador menor que o grau do denominador. Aqui o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, então já é própria — ótimo.
  • Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, a forma da decomposição é
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar.

Passo 3

Como achar A e B: multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+2) para eliminar denominadores. Isso dá a identidade (igualdade de polinômios):
3x+5 = A(x+2) + B(x-1).
Isto significa que para todo x os dois lados são iguais; agora encontramos A e B.

Passo 4

Resolvendo a identidade de forma simples (método do “plug-in” ou cover-up):
  • Escolha x=1. Substituindo em \;3x+5 = A(x+2)+B(x-1)\; obtemos
3\cdot 1 + 5 = A(1+2) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 8 = 3A,
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A = \frac{8}{3}.
  • Escolha x=-2. Substituindo:
3(-2) + 5 = A\cdot 0 + B(-2-1) \quad\Rightarrow\quad -6+5 = -3B,
ou seja
-1 = -3B \quad\Rightarrow\quad B = \frac{1}{3}.

Passo 5

Agora reescrevemos a integral usando os valores de A e B:
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{8/3}{x-1}+\frac{1/3}{x+2}.
Portanto
\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx = \int \left(\frac{8/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2}\right)\,dx.

Passo 6

Integração termo a termo; lembra que a integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| (isso vem da substituição u=x-a e da primitiva de 1/u):
  • Integramos cada parcela:
\int \frac{8/3}{x-1}\,dx = \frac{8}{3}\ln|x-1| + C_1,
\int \frac{1/3}{x+2}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x+2| + C_2.
Somando (e juntando constantes C_1+C_2 numa única constante C) resulta
\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx = \frac{8}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C

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