Calcule as integrais múltiplas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
A pergunta é única: calcular o valor numérico dessa integral iterada (integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
).
Passo 2
Conceito usado (de forma prática): ao integrar em
mantendo
e
fixos,
e
são constantes. Usamos a linearidade da integral e as regras básicas de antiderivação:
Calculamos a integral interna em
:
Antiderivada em
:
Agora avaliamos entre
e
:
Fazendo as contas:
Logo a integral dupla restante é
Passo 3
Agora integramos em
. Repetindo as regras: ao integrar em
,
é constante. Antiderivadas úteis:
Assim
Avaliaremos de
a
:
Substituindo
:
Portanto o resultado após integrar em
é
Agora resta a integral em
:
Passo 4
Integramos em
. Antiderivadas:
Então
Avaliaremos entre
e
:
Passo 5
Interpretação e dicas rápidas para a prova:
- Usei a propriedade de que, em uma integral iterada sobre um retângulo, ao integrar em uma variável as outras são tratadas como constantes.
- A linearidade facilita separar termos e aplicar antiderivadas simples.
- Sempre escreva a antiderivada geral (sem esquecer constantes relativas à variável de integração) e depois avalie nos limites.
- Observação útil: como a função é contínua num retângulo, pela Fubini trocamos a ordem de integração se for conveniente — aqui não foi necessário, mas é uma ferramenta prática.