Calcule as integrais múltiplas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}(2 x-4 y-z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} (2x-4y-z)\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
\text{limites: } x\in[0,1],\quad y\in[0,2],\quad z\in[0,3],
\text{integrando: } f(x,y,z)=2x-4y-z.
A pergunta é única: calcular o valor numérico dessa integral iterada (integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x).

Passo 2

Conceito usado (de forma prática): ao integrar em z mantendo x e y fixos, x e y são constantes. Usamos a linearidade da integral e as regras básicas de antiderivação:
\int a\,dz = a z \quad\text{(se \(a\) é constante em relação a \(z\))},éçã
\int z\,dz = \frac{z^{2}}{2}.
Calculamos a integral interna em z:
\int_{0}^{3} (2x-4y-z)\,dz.
Antiderivada em z:
\int (2x-4y-z)\,dz = (2x-4y)\,z - \frac{z^{2}}{2}.
Agora avaliamos entre z=0 e z=3:
\big[(2x-4y)z - \tfrac{z^{2}}{2}\big]_{0}^{3} = (2x-4y)\cdot 3 - \tfrac{3^{2}}{2}.
Fazendo as contas:
(2x-4y)\cdot 3 - \tfrac{9}{2} = 6x - 12y - \tfrac{9}{2}.
Logo a integral dupla restante é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} \big(6x - 12y - \tfrac{9}{2}\big)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y. Repetindo as regras: ao integrar em y, x é constante. Antiderivadas úteis:
\int 6x\,dy = 6x\cdot y,\qquad \int -12y\,dy = -12\cdot \frac{y^{2}}{2} = -6y^{2},\qquad \int -\tfrac{9}{2}\,dy = -\tfrac{9}{2}y.
Assim
\int \big(6x - 12y - \tfrac{9}{2}\big)\,dy = 6xy - 6y^{2} - \tfrac{9}{2}y.
Avaliaremos de y=0 a y=2:
\big[6xy - 6y^{2} - \tfrac{9}{2}y\big]_{0}^{2}.
Substituindo y=2:
6x\cdot 2 - 6\cdot 2^{2} - \tfrac{9}{2}\cdot 2 = 12x - 6\cdot 4 - 9 = 12x - 24 - 9.
Portanto o resultado após integrar em y é
12x - 33.
Agora resta a integral em x:
\int_{0}^{1} (12x - 33)\,dx.

Passo 4

Integramos em x. Antiderivadas:
\int 12x\,dx = 12\cdot \frac{x^{2}}{2} = 6x^{2},\qquad \int -33\,dx = -33x.
Então
\int (12x - 33)\,dx = 6x^{2} - 33x.
Avaliaremos entre x=0 e x=1:
\big[6x^{2} - 33x\big]_{0}^{1} = (6\cdot 1^{2} - 33\cdot 1) - 0 = 6 - 33 = -27.

Passo 5

Interpretação e dicas rápidas para a prova:
  • Usei a propriedade de que, em uma integral iterada sobre um retângulo, ao integrar em uma variável as outras são tratadas como constantes.
  • A linearidade facilita separar termos e aplicar antiderivadas simples.
  • Sempre escreva a antiderivada geral (sem esquecer constantes relativas à variável de integração) e depois avalie nos limites.
  • Observação útil: como a função é contínua num retângulo, pela Fubini trocamos a ordem de integração se for conveniente — aqui não foi necessário, mas é uma ferramenta prática.

Resposta

-27

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