Calcule as integrais ointC F cdot d r especifacadas abaixo, se atente a orientação do caminho.
F(x, y)=(y cos (x)-x y sen(x), x y+x cos (x)), onde C é o triângulo de lados definido pelos pontos (0,0) a (2,0) de (2,0) a (0,2) e por fim (0,2) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointCFcdot dr, onde F(x,y)=(ycos(x)-x ysin(x),;x y+xcos(x)) e C é o triângulo com vértices (0,0)to(2,0)to(0,2)to(0,0), orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Green, já que o campo não é conservativo.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais partial P/partial y e partial Q/partial x. Sejam P(x,y)=ycos(x)-x ysin(x) e Q(x,y)=x y+xcos(x). Então
partial Ppartial y=cos(x)-xsin(x),partial Qpartial x=y+cos(x)-xsin(x)

Passo 3

Como partial Q/partial x-partial P/partial y=y, o Teorema de Green dá
ointCFcdot dr=integral duplaDl(partial Q/partial x-partial P/partial yr),dA=integral duplaDy,dA,
onde D é o triângulo (x,y):0<= x<=2,;0<= y<=2-x. Montamos a integral dupla:
integral duplaDy,dA=integralx=0^2integraly=0^2-xy,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^2-xy,dy=(2-x)^22

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^2(2-x)^22,dx=12integral0^2(2-x)^2,dx=12cdot83=43

Resposta

43

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