Determine os pontos da superfície x y^3 z^2=16 mais próximos da origem.

Passo 1

Resumo: queremos achar os pontos da superfície definida por x y³ z²=16 que minimizam a distância até a origem. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange. Precisamos montar a função distância ao quadrado D(x,y,z)=x²+y²+z² e introduzir a restrição g(x,y,z)=x y³ z²−16=0.

Passo 2

Montamos o lagrangiano L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambda(x,y^3,z^2-16). As condições de ótimo são ∇L=0, isto é:
2x=lambda,y^3z^2, 2y=lambda,3x y^2z^2, 2z=lambda,2x y^3z, x y^3z^2=16

Passo 3

Dividindo a primeira equação pela segunda (e supondo y≠0 e z≠0) obtemos
2x2y=y^3z^23x y^2z^2 Longrightarrow 3x^2=y^2 Longrightarrow y^2=3x^2

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela terceira (e supondo x≠0 e y≠0 e z≠0) obtemos
2x2z=y^3z^22x y^3z Longrightarrow 2x^2=z^2 Longrightarrow z^2=2x^2

Passo 5

Agora usamos a restrição x y³ z²=16. Como y³=(y2)y=3x2·y e z²=2x^2,
x,(3x^2y),(2x^2)=16 Longrightarrow 6x^5y=16 Mas como y=±√3
x e precisamos de resultado positivo, escolhemos y=+√3
x (com x qualquer sinal). Assim
6x^5(raiz3 x)=16 Longrightarrow 6raiz3,x^6=16 Longrightarrow x^6=166raiz3=83raiz3

Passo 6

Logo
x^2=raiz[3]83raiz3=2raiz3, y^2=3x^2=6raiz3=2raiz3, z^2=2x^2=4raiz3

Passo 7

Tomando as raízes e lembrando das simetrias de sinal (x e y têm mesmo sinal, z pode trocar de sinal) chegamos aos pontos de mínimo:
(x,y,z)=l(varepsilon,raiz23^1/4,;varepsilon,raiz2,3^1/4,;de
com varepsilon=pm1 e de.
Esses quatro pontos são todos equidistantes da origem e minimizam a distância sujeita à restrição dada.

Resposta

(x,y,z)=\Bigl(\varepsilon,\frac{\sqrt2}{3{1/4}},\varepsilon,\sqrt2,3{1/4},\delta,\frac{2}{3^{1/4}}\Bigr) com varepsilon=pm1 e de.

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