Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
,
,
. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) e vamos precisar parametrizar esse cilindro elíptico e usar o produto escalar com o vetor normal.
Passo 2
Como
é um cilindro elíptico restrito ao primeiro quadrante e à altura
, parametrizamos por ângulo
e altura
:
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes, o normal e o elemento de área:
que aponta para fora. Então
Passo 4
Substituímos
na parametrização e fazemos o produto escalar:
Logo o fluxo é
Passo 5
Fazendo a integral em
e depois em
, achamos
soma
, e em
multiplica por
.
Resposta
S é uma superfície cilíndrica e o fluxo é