Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=[y^3,x^3,z^3] através da superfície S dada por x^2+4y^2=4, x,y>=0, 0<= z<= h. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) e vamos precisar parametrizar esse cilindro elíptico e usar o produto escalar com o vetor normal.

Passo 2

Como S é um cilindro elíptico restrito ao primeiro quadrante e à altura h, parametrizamos por ângulo t e altura z:
r(t,z)=(2cos t,,sin t,,z), tin[0,tfracpi2],;zin[0,h]

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes, o normal e o elemento de área:
rt=(-2sin t,,cos t,,0), rz=(0,0,1)
rttimes rz=(cos t,,2sin t,,0),
que aponta para fora. Então
d S=(cos t,2sin t,0),dt,dz

Passo 4

Substituímos vec F na parametrização e fazemos o produto escalar:
vec F( r)=(sin^3 t,8cos^3 t,z^3),
vec Fcdot( rttimes rz)=sin^3 tcos t+16sin tcos^3 t
Logo o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral0^hintegral0^pi/2(sin^3 tcos t+16sin tcos^3 t),dt,dz

Passo 5

Fazendo a integral em t e depois em z, achamos
integral0^pi/2(sin^3 tcos t)dt=tfrac14, integral0^pi/2(16sin tcos^3 t)dt=4,
soma 17/4, e em z multiplica por h.

Resposta

S é uma superfície cilíndrica e o fluxo é 17h4

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