Dada uma curva C: r(t), encontre um vetor tangente , um vetor tangente unitário r^'(t) e a reta tangente de u(t) em C. Esboce a curva e a tangente.
P

Passo 1

A curva C é dada por r(t) = [5cos t,,5sin t,,0], que é um círculo de raio 5 no plano xy. Vamos precisar de cálculo de derivadas para achar o vetor tangente, depois normalizar para obter o vetor tangente unitário, e por fim usar o ponto P para escrever a reta tangente.

Passo 2

Para obter o vetor tangente r^prime(t), derivamos componente a componente. Lembrando que ddt(cos t) = -sin t e ddt(sin t) = cos t, temos
r^prime(t) = [5(-sin t),,5cos t,,0] = [-5sin t,,5cos t,,0]

Passo 3

O vetor tangente unitário u(t) é obtido normalizando r^prime(t). Primeiro calculamos sua norma:
|r^prime(t)| = raiz(-5sin t)^2 + (5cos t)^2 + 0^2 = raiz25(sin^2 t + cos^2 t) = 5
Logo
u(t) = r^prime(t)|r^prime(t)| = l[-sin t,,cos t,,0r]

Passo 4

Para encontrar o parâmetro t0 que leva ao ponto P (4,3,0), igualamos 5cos t0 = 4 e 5sin t0 = 3. Assim
cos t0 = 45, sin t0 = 35,
o que corresponde a t0 = arctanl(tfrac34r) no 1°\ quadrante.

Passo 5

A reta tangente em P usa P como ponto e r^prime(t0) como direção. Em t0 temos
r^prime(t0) = [-5cdottfrac35,,5cdottfrac45,,0] = [-3,,4,,0]
Logo a equação paramétrica da reta é
ell(s) = (4,3,0) + s(-3,4,0),
ou em coordenadas:
x = 4 - 3s, y = 3 + 4s, z = 0

Passo 6

A curva é um círculo de raio 5 centrado na origem no plano xy, e a reta tangente em P é perpendicular ao raio OP. Basta desenhar o círculo e, no ponto (4,3), traçar uma linha com direção (-3,4) para representar a tangente.

Resposta

Vetor tangente: r^prime(t) = [-5sin t,,5cos t,,0]; vetor tangente unitário: u(t) = [-sin t,,cos t,,0]; reta tangente em P: ell(s) = (4,3,0) + s(-3,4,0), ou x=4-3s, y=3+4s, z=0

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