Dada uma curva
, encontre um vetor tangente , um vetor tangente unitário
e a reta tangente de
em
. Esboce a curva e a tangente.
Passo 1
A curva C é dada por
, que é um círculo de raio 5 no plano xy. Vamos precisar de cálculo de derivadas para achar o vetor tangente, depois normalizar para obter o vetor tangente unitário, e por fim usar o ponto P para escrever a reta tangente.
Passo 2
Para obter o vetor tangente
, derivamos componente a componente. Lembrando que
e
, temos
Passo 3
O vetor tangente unitário
é obtido normalizando
. Primeiro calculamos sua norma:
Logo
Passo 4
Para encontrar o parâmetro
que leva ao ponto P
, igualamos
e
. Assim
o que corresponde a
no 1°\ quadrante.
Passo 5
A reta tangente em P usa P como ponto e
como direção. Em
temos
Logo a equação paramétrica da reta é
ou em coordenadas:
Passo 6
A curva é um círculo de raio 5 centrado na origem no plano xy, e a reta tangente em P é perpendicular ao raio
. Basta desenhar o círculo e, no ponto
, traçar uma linha com direção
para representar a tangente.
Resposta
Vetor tangente:
; vetor tangente unitário:
; reta tangente em P:
, ou