Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
(b) integral sen^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sen^5 x,dx. Isso é um caso de potência ímpar de seno, e a ideia geral é usar a identidade sen^2 x = 1 - cos^2 x junto com a substituição u = cos x.

Passo 2

Primeiro, separe um fator de sen x e reescreva a potência:
sen^5 x = sen^4 xcdotsen x = (sen^2 x)^2,sen x = (1 - cos^2 x)^2,sen x

Passo 3

Agora faça a substituição u = cos x, de onde du = -sen x,dx ou sen x,dx = -du. A integral vira
integral sen^5 x,dx = integral (1 - cos^2 x)^2,sen x,dx = -integral (1 - u^2)^2,du

Passo 4

Para integrar, expanda o polinômio:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então
-integral(1 - 2u^2 + u^4),du = -l( u - 2u^33 + u^55 r) + C

Passo 5

Por fim, volte à variável x usando u = cos x. Assim obtemos a antiderivada:
-cos x + 2cos^3 x3 - cos^5 x5 + C

Resposta

-\cos x + \tfrac{2\cos^3 x}{3} - \tfrac{\cos^5 x}{5} + C

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