Encontre, em cada um dos ítens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de \frac{d y}{d x}\left(x_{0}\right), onde: x_{0}=-1 e y \geqslant 0
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para cada item (cada equação implícita que deveria vir no enunciado):
Encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} para y=y(x) dada implicitamente pela equação do item.
Avaliar essa derivada em x_{0}=-1 assumindo a condição y\geqslant 0.
Informações explícitas que eu tenho do enunciado que você me passou:
x_{0}=-1.
Condição sobre a solução: y\geqslant 0.
Informação que falta (essencial):
As equações implícitas (os itens) que definem y=y(x) não foram incluídas na sua mensagem. Sem essas equações não é possível calcular \dfrac{dy}{dx} nem seu valor em x_{0}=-1.
Passo 2
Como se faz, em geral, a diferenciação implícita (a receita passo a passo que você deve aplicar na prova):
Escreva a equação implícita como
F(x,y)=0,
onde F é uma função de x e y. Isso é só uma forma de organizar a ideia: toda equação do tipo “alguma expressão em x e y = 0” pode ser colocada assim.
Diferencie ambos os lados em relação a x. Lembre-se: y é função de x, então quando aparecer y você aplica a regra da cadeia. O procedimento gera
onde F_x é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e F_y é a derivada parcial de F em relação a y (tratando x como constante). Explico rápido:
F_x(x,y)=\dfrac{\partial F}{\partial x} significa “derivar a expressão de F em relação a x, considerando y como constante”.
F_y(x,y)=\dfrac{\partial F}{\partial y} significa “derivar a expressão de F em relação a y, considerando x como constante”.
O termo F_y\cdot \dfrac{dy}{dx} aparece por causa da regra da cadeia: quando derivamos algo que depende de y(x), multiplicamos pela derivada de y.
Resolva para \dfrac{dy}{dx}. Isolando,
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
Essa é uma fórmula muito prática: basta calcular as duas parciais F_x e F_y e montar essa razão. Atenção: essa fórmula só vale quando F_y(x,y)\neq 0. Se F_y=0 naquele ponto, a fórmula falha e normalmente isso indica uma tangente vertical ou que a derivada não existe ali — é preciso analisar mais cuidadosamente.
Passo 3
Como avaliar \dfrac{dy}{dx} em x_{0}=-1 com a condição y\geqslant 0:
Para cada equação implícita que você tiver, primeiro substitua x=-1 na equação e resolva para y. Pode haver várias soluções para y; a condição y\geqslant 0 indica que você deve escolher a(s) solução(ões) não negativa(s).
Para cada solução (x_{0},y_{0}) encontrada, calcule F_x(x_{0},y_{0}) e F_y(x_{0},y_{0}) e então compute
desde que F_y(x_{0},y_{0})\neq 0. Se F_y(x_{0},y_{0})=0, pode ser que a derivada não exista (tangente vertical) ou que seja necessário reescrever a equação para analisar o comportamento local.
Observação prática na prova: sempre escreva explicitamente os passos — (i) substituir x_{0} e resolver para y, (ii) escolher a raiz compatível com y\geqslant 0, (iii) derivar implicitamente e avaliar as parciais no par (x_{0},y_{0}). Isso evita erros.
Passo 4
Vou dar dois exemplos concretos para fixar a técnica — são exemplos didáticos e não substituem as suas equações, mas servem para você ver o processo completo.
Exemplo A (mostra caso de derivada indefinida):
Equação: \;x^{2}+y^{2}-1=0 (círculo raio 1).
Coloque F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
Derive: F_x=2x, F_y=2y, logo
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
Avaliando em x_{0}=-1: substitua x=-1 na equação original para achar y: (-1)^{2}+y^{2}-1=0\Rightarrow y^{2}=0\Rightarrow y=0. Como y\geqslant 0, escolhemos y_{0}=0. Mas então F_y( -1,0)=2\cdot 0=0, o que torna a fórmula -x/y impossível (divisão por zero): a derivada é indefinida (tangente vertical) em (-1,0). Conclusão: cuidado — obter y_{0} nulo pode levar a F_y=0 e derivada inexistente.
Exemplo B (mostra caso bem comportado com resultado numérico):
Equação: \;x^{2}+x y+y^{2}-3=0.
Coloque F(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}-3.
Parciais: F_x=2x+y, F_y=x+2y. Assim
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y}.
Avaliando em x_{0}=-1: primeiro substitua na equação para achar y:
(-1)^{2}+(-1)\cdot y+y^{2}-3=0 \Rightarrow 1 - y + y^{2}-3=0 \Rightarrow y^{2}-y-2=0.
Essa quadrática tem raízes y=2 e y=-1. Pela condição y\geqslant 0 escolhemos y_{0}=2.
Agora calcule as parciais em (-1,2): F_x(-1,2)=2(-1)+2=-2+2=0 e F_y(-1,2)=-1+4=3. Logo
Neste exemplo tivemos derivada bem definida e igual a 0 no ponto compatível com y\geqslant 0.
Passo 5
Conclusão prática para o seu caso real: eu tenho toda a técnica pronta e os exemplos para você replicar na prova, mas não posso calcular \dfrac{dy}{dx} nem \dfrac{dy}{dx}(x_{0}) especificamente para os itens que você mencionou porque as equações implícitas (os itens) não foram enviadas. Para cada item que você quiser que eu resolva numericamente, é necessário que você me forneça a equação implícita correspondente. Se enviar uma equação, eu aplico exatamente os passos que mostrei e te dou a derivada e o valor em x_{0}=-1 escolhendo a solução com y\geqslant 0.
Resposta
Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx}(x_{0}) porque as equações implícitas dos itens não foram fornecidas.