Calcule as integrais a seguir:
b) \int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{sen}^{2} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6} \operatorname{sen}^{2}x\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função trigonométrica, e vamos usar a identidade de redução para \operatorname{sen}^{2}x.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Logo a integral se transforma em
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int \bigl(1 - \cos(2x)\bigr)dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \bigl(1 - \cos(2x)\bigr)dx = \int 1\,dx - \int \cos(2x)\,dx = x - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} + C.
Multiplicando por 1/2, obtemos
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \pi/6:
\left[\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}\right]_{0}^{\pi/6} = \Bigl(\frac{\pi/6}{2} - \frac{\operatorname{sen}(\pi/3)}{4}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{\operatorname{sen}(0)}{4}\Bigr).
Como \operatorname{sen}(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{sen}(0)=0, resulta
\frac{\pi}{12} - \frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}

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