Calcule as seguintes integrais:
a) \int \arcsin x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \arcsin x \, dx.
Estamos no conteúdo de métodos de integração e, como \arcsin x é uma função que fica mais simples ao derivar, vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \arcsin x,\quad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx,\quad v = x.

Passo 3

Aplicando integração por partes,
\int \arcsin x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\arcsin x - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, fazemos a substituição
t = 1 - x^2,\quad dt = -2x\,dx\;\Longrightarrow\; x\,dx = -\tfrac12\,dt.
Logo,
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\tfrac12 \int t^{-\tfrac12}\,dt = -\tfrac12\cdot 2\,t^{\tfrac12} = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}.

Passo 5

Substituindo de volta em (3), temos
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \bigl(-\sqrt{1 - x^2}\bigr) = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C.

Resposta

\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C.

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