Calcule as integrais a seguir:
g) \int \cos 2 x \operatorname{sen} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(2x)\,\sin x\,dx.
Vamos usar identidades trigonométricas para reescrever o integrando em potências de \sin x e depois integrar usando substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(2x)=1-2\sin^2 x
para obter
\int \cos(2x)\,\sin x\,dx =\int\bigl(1-2\sin^2 x\bigr)\sin x\,dx =\int\sin x\,dx-2\int\sin^3 x\,dx.

Passo 3

A primeira parte é imediata:
\int\sin x\,dx=-\cos x+C_1.
Fica então
\int \cos(2x)\,\sin x\,dx =-\cos x-2\int\sin^3 x\,dx + C_1.

Passo 4

Para \displaystyle\int\sin^3 x\,dx escrevemos \sin^3 x=\sin x\,(1-\cos^2 x) e fazemos u=\cos x, du=-\sin x\,dx. Então
\int\sin^3 x\,dx =\int\sin x\,(1-\cos^2 x)\,dx =\int(1-u^2)(-du) =-\int(1-u^2)\,du =-\Bigl(u-\tfrac{u^3}{3}\Bigr)+C_2 =-\cos x+\tfrac{\cos^3 x}{3}+C_2.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle-2\int\sin^3 x\,dx obtemos
-2\Bigl(-\cos x+\tfrac{\cos^3 x}{3}\Bigr) =2\cos x-\tfrac{2}{3}\cos^3 x.
Logo a integral completa vale
-\cos x + \Bigl(2\cos x-\tfrac{2}{3}\cos^3 x\Bigr)+C =\cos x-\tfrac{2}{3}\cos^3 x + C.

Resposta

\int \cos(2x)\,\sin x\,dx =\cos x-\tfrac{2}{3}\cos^3 x + C.

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