Calcule as integrais a seguir.
(e) I=integral x^2x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntas! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Note que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são de segundo grau). Quando isso acontece, podemos dividir os polinômios para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos dividir x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1 por I = integral (1 - 1x^2+1) dx . Na verdade, dividido por dá 1, porque cabe uma vez em . Então, podemos reescrever a fração assim:
Isso simplifica a integral para:

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
I = integral 1 , dx - integral 1x^2+1 , dx
A primeira integral, , é simples de resolver. A segunda integral, , é uma integral padrão que conhecemos da trigonometria.

Passo 5

Resolvendo a primeira integral:
integral 1 , dx = x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvendo a segunda integral:
integral 1x^2+1 , dx = tan^-1(x) + C
A integral de é a função arco-tangente de .

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
I = x - tan^-1(x) + C

Resposta

A integral I = x - tan^-1(x) + C é igual a:

Exercícios relacionados