Calcule as integrais a seguir.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntas! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Note que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são de segundo grau). Quando isso acontece, podemos dividir os polinômios para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Na verdade,
dividido por
dá 1, porque
cabe uma vez em
. Então, podemos reescrever a fração assim:
Isso simplifica a integral para:
Passo 4
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira integral,
, é simples de resolver. A segunda integral,
, é uma integral padrão que conhecemos da trigonometria.
Passo 5
Resolvendo a primeira integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvendo a segunda integral:
A integral de
é a função arco-tangente de
.
Passo 7
Juntando as duas partes, temos:
Resposta
A integral
é igual a: