Calcule as integrais a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é o produto de
com
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando. A identidade é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Substituindo
nessa fórmula obtemos outra forma útil:
Explicando rápido:
significa
e
significa
. Essa identidade é muito prática quando temos produto envolvendo
e potências de
.
Passo 3
Agora substituímos a identidade no integrando:
Ou seja,
Aqui usei a linearidade da integral, que permite separar soma/diferença e fatorar constantes.
Passo 4
Calculemos a primeira integral isoladamente:
Sabemos que a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
Passo 5
Agora tratamos a integral
. Primeiro reescrevemos a potência para facilitar uma substituição:
onde usei a identidade
. Isso deixa a integral com um fator
, que combina bem com a substituição
.
Passo 6
Fazemos a substituição
Substituindo em
obtemos
Passo 7
Integramos em
:
Voltando a
(lembre que
) temos
Passo 8
Agora juntamos os resultados das duas integrais (Passo 4 e Passo 7) na expressão do Passo 3:
onde combinei as constantes de integração em uma única
.
Passo 9
Fazendo as contas:
Portanto uma primitiva é
Passo 10
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando
usando regra da cadeia e produto obtém-se
, confirmando que encontramos a primitiva correta.