Calcule as integrais a seguir:
\int \cos 2 x \operatorname{sen} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos 2x \,\operatorname{sen} x\, dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de \cos 2x com \operatorname{sen} x. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cos 2x\cdot\operatorname{sen} x.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando. A identidade é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos 2x = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x.
Substituindo \cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x nessa fórmula obtemos outra forma útil:
\cos 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x.
Explicando rápido: \cos^2 x significa (\cos x)^2 e \operatorname{sen}^2 x significa (\operatorname{sen} x)^2. Essa identidade é muito prática quando temos produto envolvendo \cos 2x e potências de \operatorname{sen} x.

Passo 3

Agora substituímos a identidade no integrando:
\cos 2x\,\operatorname{sen} x = (1 - 2\operatorname{sen}^2 x)\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x - 2\operatorname{sen}^3 x.
Ou seja,
\int \cos 2x \,\operatorname{sen} x\, dx = \int \operatorname{sen} x\, dx - 2\int \operatorname{sen}^3 x\, dx.
Aqui usei a linearidade da integral, que permite separar soma/diferença e fatorar constantes.

Passo 4

Calculemos a primeira integral isoladamente:
\int \operatorname{sen} x\, dx.
Sabemos que a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x. Portanto uma primitiva de \operatorname{sen} x é
\int \operatorname{sen} x\, dx = -\cos x + C_1.

Passo 5

Agora tratamos a integral \int \operatorname{sen}^3 x\, dx. Primeiro reescrevemos a potência para facilitar uma substituição:
\operatorname{sen}^3 x = \operatorname{sen}^2 x\cdot\operatorname{sen} x = (1 - \cos^2 x)\operatorname{sen} x,
onde usei a identidade \operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x. Isso deixa a integral com um fator \operatorname{sen} x\, dx, que combina bem com a substituição u=\cos x.

Passo 6

Fazemos a substituição
u = \cos x \quad\Rightarrow\quad du = -\operatorname{sen} x\, dx \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} x\, dx = -du.
Substituindo em \int \operatorname{sen}^3 x\, dx = \int (1-\cos^2 x)\operatorname{sen} x\, dx obtemos
\int \operatorname{sen}^3 x\, dx = \int (1-u^2)(-du) = -\int (1-u^2)\, du.

Passo 7

Integramos em u:
-\int (1-u^2)\, du = -\left( u - \frac{u^3}{3} \right) + C_2 = -u + \frac{u^3}{3} + C_2.
Voltando a x (lembre que u=\cos x) temos
\int \operatorname{sen}^3 x\, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C_2.

Passo 8

Agora juntamos os resultados das duas integrais (Passo 4 e Passo 7) na expressão do Passo 3:
\int \cos 2x\,\operatorname{sen} x\, dx = \big(-\cos x\big) - 2\left(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}\right) + C,
onde combinei as constantes de integração em uma única C.

Passo 9

Fazendo as contas:
-\cos x -2\left(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}\right) = -\cos x + 2\cos x - \frac{2\cos^3 x}{3} = \cos x - \frac{2}{3}\cos^3 x.
Portanto uma primitiva é
\cos x - \frac{2}{3}\cos^3 x + C.

Passo 10

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando \cos x - \tfrac{2}{3}\cos^3 x usando regra da cadeia e produto obtém-se \cos 2x\operatorname{sen} x, confirmando que encontramos a primitiva correta.

Resposta

\cos x - \dfrac{2}{3}\cos^3 x + C

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