Suponha que
e
. Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função
e o retângulo
.
O que se pede: verificar (ou provar) que
O que se pede: verificar (ou provar) que
Informações relevantes fornecidas: a função
é produto de uma função
que depende só de
e de uma função
que depende só de
; o domínio de integração é o retângulo
. Não há outras hipóteses explícitas no enunciado, então assumimos as hipóteses usuais que permitem integrar (por exemplo,
integrável em
e
integrável em
), que serão usadas na resolução.
Passo 2
Vamos usar a ideia de integrais iteradas e duas propriedades básicas das integrais de uma variável:
- Linearidade:
quando é constante (ou função que seja constante em relação à variável de integração). - A igualdade entre integral dupla sobre retângulo e a integral iterada (que vale sob as hipóteses de integrabilidade que estamos supondo).
Antes de aplicar, explico concretamente o que cada símbolo significa:é a integral dupla de sobre a região ; a notação representa primeiro integrar em (com fixo) e depois integrar o resultado em .
Passo 3
Fixe um valor de
em
. Para esse
fixo, a função de
dada por
é
Aqui
é apenas um número (um escalar) quando
está fixo, portanto ele se comporta como uma constante na integral em
. Pela propriedade de fator constante da integral de uma variável temos, para cada
,
Expliquei: a primeira igualdade é a definição de
; a segunda igualdade é possível porque
não depende de
e pode ser puxado para fora da integral em
.
Passo 4
Defina a notação
que é um número (uma constante em relação a
). Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos, para todo
,
Agora integramos ambos os lados em
sobre
. Usando que a integral dupla sobre o retângulo pode ser escrita como integral iterada (integrando primeiro em
e depois em
), temos
Substituindo a expressão do integrando,
Passo 5
Na integral
, o fator
é constante (não depende de
), então pode ser puxado para fora da integral em
. Assim
Voltando à definição de
obtemos exatamente
que é a igualdade que queríamos verificar.
Passo 6
Complemento didático (opcional, mas útil para entender por que a igualdade é natural): argumento via somas de Riemann que mostra também a integrabilidade de
. Faça uma partição de
em subintervalos com comprimentos
e uma partição de
com comprimentos
. Tome pontos de amostragem
em cada subintervalo de
e
em cada subintervalo de
. A soma de Riemann dupla é
Reagrupando os fatores obtemos
Ao refinarmos as partições e tomarmos o limite (se
e
forem integráveis), os parênteses convergem respectivamente para
e
, logo o limite de
(que é a integral dupla) é o produto desses dois limites. Esse argumento mostra de forma construtiva por que a integral dupla existe e se separa no produto das integrais unidimensionais.