Suponha que f(x, y)=g(x) h(y) e R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\right\}. Verifique que
\iint_{R} f(x, y) d A=\left[\int_{a}^{b} g(x) d x\right] \cdot\left[\int_{c}^{d} h(y) d y\right]

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=g(x)\,h(y)\, e o retângulo R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid a\le x\le b,\;c\le y\le d\}.
O que se pede: verificar (ou provar) que
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right].
Informações relevantes fornecidas: a função f é produto de uma função g que depende só de x e de uma função h que depende só de y; o domínio de integração é o retângulo R. Não há outras hipóteses explícitas no enunciado, então assumimos as hipóteses usuais que permitem integrar (por exemplo, g integrável em [a,b] e h integrável em [c,d]), que serão usadas na resolução.

Passo 2

Vamos usar a ideia de integrais iteradas e duas propriedades básicas das integrais de uma variável:
  1. Linearidade: \displaystyle\int (c\cdot \varphi(t))\,dt = c\int \varphi(t)\,dt quando c é constante (ou função que seja constante em relação à variável de integração).
  2. A igualdade entre integral dupla sobre retângulo e a integral iterada (que vale sob as hipóteses de integrabilidade que estamos supondo).
    Antes de aplicar, explico concretamente o que cada símbolo significa: \iint_R f(x,y)\,dA é a integral dupla de f sobre a região R; a notação \int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx representa primeiro integrar em y (com x fixo) e depois integrar o resultado em x.

Passo 3

Fixe um valor de x em [a,b]. Para esse x fixo, a função de y dada por y\mapsto f(x,y) é
y\mapsto f(x,y)=g(x)\,h(y).
Aqui g(x) é apenas um número (um escalar) quando x está fixo, portanto ele se comporta como uma constante na integral em y. Pela propriedade de fator constante da integral de uma variável temos, para cada x,
\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy = \int_{c}^{d} g(x)\,h(y)\,dy = g(x)\int_{c}^{d} h(y)\,dy.
Expliquei: a primeira igualdade é a definição de f; a segunda igualdade é possível porque g(x) não depende de y e pode ser puxado para fora da integral em y.

Passo 4

Defina a notação
H := \int_{c}^{d} h(y)\,dy,
que é um número (uma constante em relação a x). Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos, para todo x\in[a,b],
\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy = g(x)\,H.
Agora integramos ambos os lados em x sobre [a,b]. Usando que a integral dupla sobre o retângulo pode ser escrita como integral iterada (integrando primeiro em y e depois em x), temos
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx.
Substituindo a expressão do integrando,
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b} \bigl(g(x)\,H\bigr)\,dx.

Passo 5

Na integral \int_{a}^{b} \bigl(g(x)\,H\bigr)\,dx, o fator H é constante (não depende de x), então pode ser puxado para fora da integral em x. Assim
\iint_{R} f(x,y)\,dA = H \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Voltando à definição de H obtemos exatamente
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right],
que é a igualdade que queríamos verificar.

Passo 6

Complemento didático (opcional, mas útil para entender por que a igualdade é natural): argumento via somas de Riemann que mostra também a integrabilidade de f. Faça uma partição de [a,b] em subintervalos com comprimentos \Delta x_i e uma partição de [c,d] com comprimentos \Delta y_j. Tome pontos de amostragem x_i^* em cada subintervalo de x e y_j^* em cada subintervalo de y. A soma de Riemann dupla é
S=\sum_{i}\sum_{j} f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j =\sum_{i}\sum_{j} g(x_i^*)\,h(y_j^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j.
Reagrupando os fatores obtemos
S=\left(\sum_{i} g(x_i^*)\,\Delta x_i\right)\cdot\left(\sum_{j} h(y_j^*)\,\Delta y_j\right).
Ao refinarmos as partições e tomarmos o limite (se g e h forem integráveis), os parênteses convergem respectivamente para \int_a^b g(x)\,dx e \int_c^d h(y)\,dy, logo o limite de S (que é a integral dupla) é o produto desses dois limites. Esse argumento mostra de forma construtiva por que a integral dupla existe e se separa no produto das integrais unidimensionais.

Resposta

\iint_{R} f(x,y)\,dA = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right]

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