Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- Os limites internos (para
) são a . - Os limites externos (para
) são a . - A função a integrar é
. - A integração interna é em relação a
, portanto durante essa integração deve ser tratado como constante.
Passo 2
Vamos calcular a integral interna em
:
Primeiro, lembrando regras básicas de integração (uma mini-aula rápida e amigável):
- A integral de uma soma é a soma das integrais.
- Se uma expressão tem uma constante multiplicativa (como
quando integramos em ), podemos puxar essa constante para fora da integral. -
. -
. Aqui no intervalo dado, então usamos .
Aplicando isso termo a termo:
Calculemos o valor entre colchetes:
Portanto
Passo 3
Agora o segundo termo da integral interna:
Calcule o valor entre colchetes:
Logo
Passo 4
Somando os dois resultados da integral interna obtemos:
Portanto a integral iterada vira a integral externa
Passo 5
Separe a integral em duas por linearidade:
Aplicando as fórmulas:
-
. -
.
Calcule cada uma:
Passo 6
Substituindo esses valores:
Agora simplificamos usando
:
Portanto o valor total é