Calcule as integrais iteradas:
\int_{1}^{4} \int_{1}^{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{4}\int_{1}^{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites internos (para y) são 1 a 2.
  • Os limites externos (para x) são 1 a 4.
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}.
  • A integração interna é em relação a y, portanto durante essa integração x deve ser tratado como constante.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\,dy.
Primeiro, lembrando regras básicas de integração (uma mini-aula rápida e amigável):
  • A integral de uma soma é a soma das integrais.
  • Se uma expressão tem uma constante multiplicativa (como 1/x quando integramos em y), podemos puxar essa constante para fora da integral.
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C. Aqui y>0 no intervalo dado, então usamos \ln y.
Aplicando isso termo a termo:
\int_{1}^{2}\frac{y}{x}\,dy = \frac{1}{x}\int_{1}^{2}y\,dy = \frac{1}{x}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{1}^{2}.
Calculemos o valor entre colchetes:
\left[\frac{y^2}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto
\int_{1}^{2}\frac{y}{x}\,dy = \frac{1}{x}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2x}.

Passo 3

Agora o segundo termo da integral interna:
\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy = x\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy = x\left[\ln y\right]_{1}^{2}.
Calcule o valor entre colchetes:
\left[\ln y\right]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2-0=\ln 2.
Logo
\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy = x\ln 2.

Passo 4

Somando os dois resultados da integral interna obtemos:
\int_{1}^{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\,dy = \frac{3}{2x}+x\ln 2.
Portanto a integral iterada vira a integral externa
\int_{1}^{4}\left(\frac{3}{2x}+x\ln 2\right)\,dx.

Passo 5

Separe a integral em duas por linearidade:
\int_{1}^{4}\left(\frac{3}{2x}+x\ln 2\right)\,dx = \frac{3}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx + \ln 2\int_{1}^{4}x\,dx.
Aplicando as fórmulas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Calcule cada uma:
\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{4}=\ln 4-\ln 1=\ln 4.
\int_{1}^{4}x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}=\frac{4^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.

Passo 6

Substituindo esses valores:
\frac{3}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx + \ln 2\int_{1}^{4}x\,dx = \frac{3}{2}\ln 4 + \ln 2\cdot\frac{15}{2}.
Agora simplificamos usando \ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2:
\frac{3}{2}\ln 4 = \frac{3}{2}\cdot 2\ln 2 = 3\ln 2.
Portanto o valor total é
3\ln 2 + \frac{15}{2}\ln 2 = \left(3+\frac{15}{2}\right)\ln 2 = \frac{6+15}{2}\ln 2 = \frac{21}{2}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{2}\ln 2

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