Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função cujo derivada é
.
Passo 2
Primeiro passo simples: usar a linearidade da integral para tirar constantes multiplicativas para fora. A constante
pode sair da integral:
Isso reduz o problema a encontrar
, e depois multiplicar por
.
Passo 3
Para integrar
vamos usar a fórmula da integração por partes. A fórmula é
onde
e
são escolhidos de modo que
e
sejam fáceis de calcular. Uma escolha natural quando há um polinômio multiplicando uma exponencial é tomar
como o polinômio (porque sua derivada simplifica) e
como a exponencial (porque sua primitiva é simples). Então escolhemos:
Passo 4
Calcular
e
:
Para
usamos substituição simples: se
então
e
, logo
Portanto
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Colocando fator
em evidência:
Já calculamos
, então
Passo 6
Agora voltamos à integral original multiplicando por
:
Fazendo a multiplicação:
Podemos também escrever de forma fatorada, se preferir:
Passo 7
Checagem rápida (opcional, mas útil): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando. Derivando
:
o que confirma que a primitiva está correta.