Calcule as integrais a seguir:
\int 4 t\left(e^{3 t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 4\, t\left(e^{3 t}\right)\, d t.
Informações dadas:
  • A função integranda é 4\,t\,e^{3t}.
  • Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função cujo derivada é 4\,t\,e^{3t}.

Passo 2

Primeiro passo simples: usar a linearidade da integral para tirar constantes multiplicativas para fora. A constante 4 pode sair da integral:
\int 4\,t\,e^{3t}\,dt = 4\int t\,e^{3t}\,dt.
Isso reduz o problema a encontrar \int t\,e^{3t}\,dt, e depois multiplicar por 4.

Passo 3

Para integrar \int t\,e^{3t}\,dt vamos usar a fórmula da integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo que du e v=\int dv sejam fáceis de calcular. Uma escolha natural quando há um polinômio multiplicando uma exponencial é tomar u como o polinômio (porque sua derivada simplifica) e dv como a exponencial (porque sua primitiva é simples). Então escolhemos:
u = t,\qquad dv = e^{3t}\,dt.

Passo 4

Calcular du e v:
du = dt, \qquad v = \int e^{3t}\,dt.
Para \int e^{3t}\,dt usamos substituição simples: se w=3t então dw=3\,dt e dt=\tfrac{1}{3}dw, logo
\int e^{3t}\,dt = \frac{1}{3}e^{3t}.
Portanto v=\dfrac{1}{3}e^{3t}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int t\,e^{3t}\,dt = u v - \int v\,du = t\cdot\frac{1}{3}e^{3t} - \int \frac{1}{3}e^{3t}\,dt.
Colocando fator \tfrac{1}{3} em evidência:
\int t\,e^{3t}\,dt = \frac{t e^{3t}}{3} - \frac{1}{3}\int e^{3t}\,dt.
Já calculamos \int e^{3t}\,dt = \dfrac{1}{3}e^{3t}, então
\int t\,e^{3t}\,dt = \frac{t e^{3t}}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{e^{3t}}{3} = \frac{t e^{3t}}{3} - \frac{e^{3t}}{9}.

Passo 6

Agora voltamos à integral original multiplicando por 4:
\int 4\,t\,e^{3t}\,dt = 4\left(\frac{t e^{3t}}{3} - \frac{e^{3t}}{9}\right).
Fazendo a multiplicação:
\int 4\,t\,e^{3t}\,dt = \frac{4 t e^{3t}}{3} - \frac{4 e^{3t}}{9}.
Podemos também escrever de forma fatorada, se preferir:
\int 4\,t\,e^{3t}\,dt = \frac{4 e^{3t}}{9}\,(3t-1).

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas útil): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando. Derivando \dfrac{4 t e^{3t}}{3} - \dfrac{4 e^{3t}}{9}:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4 t e^{3t}}{3} - \frac{4 e^{3t}}{9}\right) = \frac{4}{3}\left(e^{3t}+3t e^{3t}\right) - \frac{4}{9}\cdot 3 e^{3t} = 4 t e^{3t},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{4 t e^{3t}}{3} - \dfrac{4 e^{3t}}{9} + C

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