Calcule as integrais a seguir:
\int \operatorname{sec} ^{6}(3 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{6}\!\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr), ou seja, potência par da função secante.
  • A variável de integração é \theta.
  • É uma integral indefinida (procuramos primitiva + constante de integração).

Passo 2

Idéia principal (sem calcular ainda): usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x = 1+\tan^{2}x,
para separar um fator \operatorname{sec}^{2} que permita a substituição u=\tan(3\theta). Explico por quê: se colocarmos
\operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr)=\bigl(\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)\bigr)^{2}\cdot\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)
e usarmos \operatorname{sec}^{2}=1+\tan^{2}, obtemos um polinômio em \tan(3\theta) multiplicado por \operatorname{sec}^{2}(3\theta), e a substituição u=\tan(3\theta) transforma \operatorname{sec}^{2}(3\theta)\,d\theta em du (com um fator constante). Isso reduz a integral a uma integral de polinômio — algo direto de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade:
\operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr)=\bigl(\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)\bigr)^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)=\bigl(1+\tan^{2}\bigl(3\theta\bigr)\bigr)^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr).
Agora fazemos a substituição. Seja
u=\tan\bigl(3\theta\bigr).
Derivando em relação a \theta:
du = \frac{d}{d\theta}\tan\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta = 3\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta.
Logo
\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta=\frac{du}{3}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta = \int \bigl(1+ \tan^{2}\bigl(3\theta\bigr)\bigr)^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta = \int \bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}\cdot\frac{du}{3}.
Expandindo o quadrado:
\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}=1+2u^{2}+u^{4}.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{3}\int \bigl(1+2u^{2}+u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo (lembrando que \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
\frac{1}{3}\int \bigl(1+2u^{2}+u^{4}\bigr)\,du = \frac{1}{3}\left(u+\frac{2\,u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável \theta com u=\tan\bigl(3\theta\bigr):
\int \operatorname{sec}^{6}\bigl(3\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{3}\left(\tan\bigl(3\theta\bigr)+\frac{2\,\tan^{3}\bigl(3\theta\bigr)}{3}+\frac{\tan^{5}\bigl(3\theta\bigr)}{5}\right)+C.
Se preferir, pode escrever os coeficientes com denominadores comuns:
= \frac{\tan^{5}\bigl(3\theta\bigr)}{15}+\frac{2\,\tan^{3}\bigl(3\theta\bigr)}{9}+\frac{\tan\bigl(3\theta\bigr)}{3}+C.

Resposta

\frac{1}{3}\left(\tan\bigl(3\theta\bigr)+\frac{2\,\tan^{3}\bigl(3\theta\bigr)}{3}+\frac{\tan^{5}\bigl(3\theta\bigr)}{5}\right)+C

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