Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
, ou seja, potência par da função secante. - A variável de integração é
. - É uma integral indefinida (procuramos primitiva + constante de integração).
Passo 2
Idéia principal (sem calcular ainda): usar a identidade trigonométrica
para separar um fator
que permita a substituição
. Explico por quê: se colocarmos
e usarmos
, obtemos um polinômio em
multiplicado por
, e a substituição
transforma
em
(com um fator constante). Isso reduz a integral a uma integral de polinômio — algo direto de integrar.
Passo 3
Aplicando a identidade:
Agora fazemos a substituição. Seja
Derivando em relação a
:
Logo
Passo 4
Substituindo na integral:
Expandindo o quadrado:
Portanto
Passo 5
Integramos termo a termo (lembrando que
para
):
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável
com
:
Se preferir, pode escrever os coeficientes com denominadores comuns: