Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{1}{9-s^{2}} d s

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{9 - s^{2}}\,ds.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é s.
  • O denominador 9 - s^{2} se anula em s=\pm 3, logo a primitiva existe em qualquer intervalo que não contenha s=\pm 3.
  • Vamos encontrar uma antiderivada geral com constante de integração C.

Passo 2

Fatorar o denominador para preparar uma decomposição em frações parciais:
9 - s^{2} = (3 - s)(3 + s).

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuro constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(3 - s)(3 + s)}=\frac{A}{3 - s}+\frac{B}{3 + s}.
Multiplicando por (3 - s)(3 + s) obtemos
1 = A(3 + s) + B(3 - s).
Expandindo:
1 = (3A + 3B) + (A - B)\,s.
Comparando coeficientes (termos constantes e termos em s):
\begin{cases} A - B = 0,\\[4pt] 3A + 3B = 1. \end{cases}
Da primeira equação A=B\]. Substituindo na segunda: \[3A + 3A = 1 \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}.\] Logo \(B=\dfrac{1}{6}. Portanto
\frac{1}{9 - s^{2}}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3 - s}+\frac{1}{3 + s}\right).]

Passo 4

Integrar termo a termo:
\int \frac{1}{9 - s^{2}}\,ds = \frac{1}{6}\int\left(\frac{1}{3 - s}+\frac{1}{3 + s}\right)ds.
Lembrando que \dfrac{d}{ds}\ln|3 - s|=-\dfrac{1}{3 - s} e \dfrac{d}{ds}\ln|3 + s|=\dfrac{1}{3 + s}, temos
\int \frac{1}{3 - s}\,ds = -\ln|3 - s| + C_1, \qquad \int \frac{1}{3 + s}\,ds = \ln|3 + s| + C_2.
Assim
\int \frac{1}{9 - s^{2}}\,ds = \frac{1}{6}\big(-\ln|3 - s| + \ln|3 + s|\big) + C.

Passo 5

Simplificar a expressão logarítmica:
\frac{1}{6}\big(-\ln|3 - s| + \ln|3 + s|\big) = \frac{1}{6}\ln\left|\frac{3 + s}{3 - s}\right| + C.

Passo 6

Apresentar forma alternativa usando a função hiperbólica inversa. Fazendo a substituição u=\dfrac{s}{3} (logo ds=3\,du):
\int \frac{1}{9 - s^{2}}\,ds = \frac{1}{3}\int \frac{1}{1 - u^{2}}\,du.
Como \dfrac{d}{du}\operatorname{arctanh}(u)=\dfrac{1}{1 - u^{2}} para |u|<1, obtemos
\int \frac{1}{9 - s^{2}}\,ds = \frac{1}{3}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{s}{3}\right) + C.
Essas duas formas são equivalentes, pois
\operatorname{arctanh}(u)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right),
o que recupera a forma logarítmica com u=s/3.

Passo 7

Observação sobre domínio: a forma com \operatorname{arctanh} é real quando |s|<3. A forma logarítmica
\dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{3+s}{3-s}\right| é válida (como função real) em qualquer intervalo real que não contenha s=\pm 3; em cada intervalo conectado a primitiva corresponde a um valor real (diferenças de constantes podem ocorrer entre intervalos).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+s}{3-s}\right|+C
\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{s}{3}\right)+C

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