Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
\int_{C}\left(\frac{z-1}{z-2}\right) em que C é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha complexa
\int_{C}\left(\frac{z-1}{z-2}\right)dz
onde C é o círculo |z|=1. Informações importantes dadas:
\;C é o círculo centrado na origem com raio 1.
O integrando é \dfrac{z-1}{z-2}.
O ponto z=2 é uma singularidade do integrando (pois anula o denominador) e tem módulo |2|=2, portanto está fora do disco |z|\leq 1.

Passo 2

Como o enunciado não forneceu parametrização, escolhemos a parametrização padrão do círculo unitário, com orientação positiva (contrária ao relógio):
z(t)=e^{it},\qquad t\in[0,2\pi].
Dessa parametrização segue
dz = i e^{it}\,dt.
Se quiséssemos substituir diretamente na integral obteríamos
\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{it}-1}{e^{it}-2}\,i e^{it}\,dt,
mas antes de calcular uma integral complicada é bom ver se existe um argumento mais simples.

Passo 3

Fazemos uma manipulação algébrica simples do integrando para torná-lo mais claro:
\frac{z-1}{z-2}=\frac{(z-2)+1}{z-2}=1+\frac{1}{z-2}.
Então a integral se separa em duas:
\int_{C}\left(\frac{z-1}{z-2}\right)dz=\int_{C}1\,dz+\int_{C}\frac{1}{z-2}\,dz.

Passo 4

Tratamos a primeira parcela:
\int_{C}1\,dz.
A função constante 1 tem primitiva F(z)=z (pois F'(z)=1). Como C é um caminho fechado, a integral de uma derivada ao longo de um laço é a diferença F(z_{\text{final}})-F(z_{\text{inicial}}), que é zero porque o ponto final coincide com o inicial. Portanto
\int_{C}1\,dz=0.

Passo 5

Agora a segunda parcela:
\int_{C}\frac{1}{z-2}\,dz.
Observe que a função g(z)=\dfrac{1}{z-2} é holomorfa (analítica) em todo o disco fechado \{z:|z|\le 1\}, porque sua única singularidade está em z=2 que está fora desse disco. Uma consequência do Teorema de Cauchy (ou do teorema integral de Cauchy) é que a integral de uma função holomorfa ao longo de qualquer curva fechada em uma região onde ela é holomorfa vale zero. Assim
\int_{C}\frac{1}{z-2}\,dz=0.
(Alternativamente, pelo Teorema dos Resíduos, o único polo está em z=2 e, como ele não está dentro de C, a contribuição dos resíduos é zero.)

Passo 6

Somando as duas parcelas obtemos
\int_{C}\left(\frac{z-1}{z-2}\right)dz=0+0=0.

Resposta

0

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