Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
em que
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha complexa
onde
é o círculo
. Informações importantes dadas:
é o círculo centrado na origem com raio
.
O integrando é .
O ponto é uma singularidade do integrando (pois anula o denominador) e tem módulo
, portanto está fora do disco
.
O integrando é
O ponto
Passo 2
Como o enunciado não forneceu parametrização, escolhemos a parametrização padrão do círculo unitário, com orientação positiva (contrária ao relógio):
Dessa parametrização segue
Se quiséssemos substituir diretamente na integral obteríamos
mas antes de calcular uma integral complicada é bom ver se existe um argumento mais simples.
Passo 3
Fazemos uma manipulação algébrica simples do integrando para torná-lo mais claro:
Então a integral se separa em duas:
Passo 4
Tratamos a primeira parcela:
A função constante
tem primitiva
(pois
). Como
é um caminho fechado, a integral de uma derivada ao longo de um laço é a diferença
, que é zero porque o ponto final coincide com o inicial. Portanto
Passo 5
Agora a segunda parcela:
Observe que a função
é holomorfa (analítica) em todo o disco fechado
, porque sua única singularidade está em
que está fora desse disco. Uma consequência do Teorema de Cauchy (ou do teorema integral de Cauchy) é que a integral de uma função holomorfa ao longo de qualquer curva fechada em uma região onde ela é holomorfa vale zero. Assim
(Alternativamente, pelo Teorema dos Resíduos, o único polo está em
e, como ele não está dentro de
, a contribuição dos resíduos é zero.)
Passo 6
Somando as duas parcelas obtemos