Questões gerais misturando todas as propriedades:
Passo 1
O enunciado pede calcular
.\n
Informações dadas no enunciado:\n
Informações dadas no enunciado:\n
- Os números envolvidos são
, e .\n - A base do logaritmo é
(estamos calculando ).\n
Não vou resolver ainda — só organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro, o que é
?\n
Definição: é o número
tal que
. Aqui a base
é fixa; se eu escrever
isso significa que
.\n
Propriedades básicas que vamos usar (explicadas):\n
Definição:
Propriedades básicas que vamos usar (explicadas):\n
- Produto:
. Isso vem do fato de que se e então e o logaritmo transforma o produto numa soma de expoentes.\n - Quociente:
. Mesmo raciocínio: dividir equivale a subtrair expoentes.\n - Potência da base:
. Porque por definição tem expoente .\n
Exemplinhos rápidos para fixar:\n -
.\n -
.\n
Essas três propriedades são suficientes para resolver nosso problema de forma muito direta.
Passo 3
Vamos reescrever os números como potências de
— isso facilita muito com logaritmos:\n
-
.\n -
.\n -
.\n
Substituindo na expressão interior do logaritmo, temos:\n
Passo 4
Agora usamos as regras de expoentes (mesma base):\n
- Ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes:
.\n - Ao dividir potências de mesma base subtrai-se o expoente do denominador:
.\n
Portanto a expressão dentro do logaritmo simplifica para:\n
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo de potências da base:\n
porque o logaritmo base
de
é exatamente
. Em palavras: o expoente que transforma
em
é
.
Passo 6
Como verificação alternativa (mesmo resultado com propriedade de soma/ subtração de logs):\n
Isso confirma o cálculo anterior — bom para conferir durante a prova.
Resposta
4