Questões gerais misturando todas as propriedades:
\log _{10}\left(\frac{1000 \cdot 100}{10}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \log_{10}\!\left(\dfrac{1000 \cdot 100}{10}\right).\n
Informações dadas no enunciado:\n
  • Os números envolvidos são \,1000, \,100 e \,10.\n
  • A base do logaritmo é \,10 (estamos calculando \log_{10}).\n
    Não vou resolver ainda — só organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro, o que é \log_{10} x?\n
Definição: \log_{10} x é o número y tal que 10^{y}=x. Aqui a base 10 é fixa; se eu escrever \log_{10} x = y isso significa que 10^{y}=x.\n
Propriedades básicas que vamos usar (explicadas):\n
  • Produto: \log_{10}(a\cdot b)=\log_{10}a+\log_{10}b. Isso vem do fato de que se a=10^{p} e b=10^{q} então a\cdot b=10^{p+q} e o logaritmo transforma o produto numa soma de expoentes.\n
  • Quociente: \log_{10}\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log_{10}a-\log_{10}b. Mesmo raciocínio: dividir equivale a subtrair expoentes.\n
  • Potência da base: \log_{10}\!\left(10^{k}\right)=k. Porque 10^{k} por definição tem expoente k.\n
    Exemplinhos rápidos para fixar:\n
  • \log_{10}(100)=\log_{10}\!\left(10^{2}\right)=2.\n
  • \log_{10}(1000)=\log_{10}\!\left(10^{3}\right)=3.\n
    Essas três propriedades são suficientes para resolver nosso problema de forma muito direta.

Passo 3

Vamos reescrever os números como potências de 10 — isso facilita muito com logaritmos:\n
  • 1000 = 10^{3}.\n
  • 100 = 10^{2}.\n
  • 10 = 10^{1}.\n
    Substituindo na expressão interior do logaritmo, temos:\n
\frac{1000\cdot 100}{10} = \frac{10^{3}\cdot 10^{2}}{10^{1}}.

Passo 4

Agora usamos as regras de expoentes (mesma base):\n
  • Ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes: 10^{3}\cdot 10^{2}=10^{3+2}=10^{5}.\n
  • Ao dividir potências de mesma base subtrai-se o expoente do denominador: \dfrac{10^{5}}{10^{1}}=10^{5-1}=10^{4}.\n
    Portanto a expressão dentro do logaritmo simplifica para:\n
\frac{10^{3}\cdot 10^{2}}{10^{1}} = 10^{4}.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do logaritmo de potências da base:\n
\log_{10}\!\left(10^{4}\right)=4,
porque o logaritmo base 10 de 10^{k} é exatamente k. Em palavras: o expoente que transforma 10 em 10^{4} é 4.

Passo 6

Como verificação alternativa (mesmo resultado com propriedade de soma/ subtração de logs):\n
\log_{10}\!\left(\frac{1000\cdot100}{10}\right)=\log_{10}(1000)+\log_{10}(100)-\log_{10}(10)=3+2-1=4.
Isso confirma o cálculo anterior — bom para conferir durante a prova.

Resposta

4

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