Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição direta.
\int 3 x \sqrt{2 x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 3x\sqrt{2x^{2}-4}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=3x\sqrt{2x^{2}-4}.
  • O exercício pede explicitamente que a solução seja feita por substituição direta.

Passo 2

Escolhemos uma substituição útil. Quando há uma raiz \sqrt{\cdot} cujo argumento é uma função de x e aparece também um fator x multiplicando, uma boa ideia é colocar o argumento da raiz como nova variável. Definimos
u = 2x^{2}-4.
Agora vamos relacionar du com dx. Derivando em relação a x:
du = \frac{d}{dx}(2x^{2}-4)\,dx = 4x\,dx.
Isso nos diz que x\,dx pode ser escrito em termos de du. Resolvendo para x\,dx:
x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. O integrando 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx torna-se:
  • o fator \sqrt{2x^{2}-4} vira \sqrt{u}=u^{1/2},
  • o produto x\,dx vira \dfrac{du}{4},
  • o coeficiente 3 permanece.
    Portanto a integral transforma-se em
\int 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx = \int 3\cdot u^{1/2}\cdot \frac{du}{4}.

Passo 4

Simplificamos constantes antes de integrar:
\int 3\cdot u^{1/2}\cdot \frac{du}{4} = \frac{3}{4}\int u^{1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integração: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C.

Passo 5

Multiplicamos pela constante \tfrac{3}{4}:
\frac{3}{4}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Simplificando \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}, obtemos
\frac{1}{2}\,u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u=2x^{2}-4:
\frac{1}{2}\,u^{3/2}+C = \frac{1}{2}\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{3/2} + C.

Passo 7

Verificação (opcional, mas útil): derivando a primitiva encontrada:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{3/2}\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{1/2}\cdot(4x) =3x\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{1/2},
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{3/2}+C

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