Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição direta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar uma função
tal que . - O exercício pede explicitamente que a solução seja feita por substituição direta.
Passo 2
Escolhemos uma substituição útil. Quando há uma raiz
cujo argumento é uma função de
e aparece também um fator
multiplicando, uma boa ideia é colocar o argumento da raiz como nova variável. Definimos
Agora vamos relacionar
com
. Derivando em relação a
:
Isso nos diz que
pode ser escrito em termos de
. Resolvendo para
:
Passo 3
Reescrevemos a integral original em termos de
. O integrando
torna-se:
- o fator
vira , - o produto
vira , - o coeficiente
permanece.
Portanto a integral transforma-se em
Passo 4
Simplificamos constantes antes de integrar:
Agora aplicamos a regra de potência para integração: para qualquer
,
Aqui
, então
Passo 5
Multiplicamos pela constante
:
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação (opcional, mas útil): derivando a primitiva encontrada:
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.