Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}+4 x y+4 x z=60
Passo 1
O enunciado dá a superfície quadric
x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz=60
e pede a sua equação relativa aos eixos principais. Informações relevantes: os termos quadráticos e mistos são x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz (não há termo yz). Vamos transformar essa forma quadrática numa forma diagonal (sem termos mistos) encontrando uma base ortonormal de autovetores da matriz simétrica associada.
Passo 2
Representamos a forma quadrática por uma matriz simétrica A tal que
Como os coeficientes dos termos mistos aparecem duas vezes na expressão matricial, os elementos fora da diagonal são metade dos coeficientes escritos. Portanto
Agora achamos autovetores correspondentes e os normalizamos.
Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0, obtendo o sistema
-2x+2y+2z=0,\quad 2x=0,\quad 2x=0.
Daqui x=0 e y+z=0, portanto um autovetor é v_{3}=(0,1,-1). Normalizando,
e_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1).
Para \lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0, o sistema reduz-se a
-2x+y+z=0,\quad x-y=0,\quad x-z=0,
logo x=y=z. Um autovetor é v_{2}=(1,1,1). Normalizando,
e_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0, o sistema dá
x+y+z=0,\quad x+2y=0,\quad x+2z=0,
resultando em x=-2y,\;y=z. Um autovetor é v_{1}=(-2,1,1). Normalizando,
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1).
Verificamos que \{e_{2},e_{3},e_{1}\} é um conjunto ortonormal de autovetores (autovalores correspondentes 5,3,-1 respectivamente).
Passo 5
Definimos as novas coordenadas (u,v,w) como as projeções em cada eixo principal (produtos escalares com os autovetores unitários). Tomando a ordem que liga u\leftrightarrow\lambda=5, v\leftrightarrow\lambda=3, w\leftrightarrow\lambda=-1, temos