Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}+4 x y+4 x z=60

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadric
x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz=60
e pede a sua equação relativa aos eixos principais. Informações relevantes: os termos quadráticos e mistos são x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz (não há termo yz). Vamos transformar essa forma quadrática numa forma diagonal (sem termos mistos) encontrando uma base ortonormal de autovetores da matriz simétrica associada.

Passo 2

Representamos a forma quadrática por uma matriz simétrica A tal que
[x\; y\; z]\,A\,[x\; y\; z]^{T}=x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz.
Como os coeficientes dos termos mistos aparecem duas vezes na expressão matricial, os elementos fora da diagonal são metade dos coeficientes escritos. Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para diagonalizar A calculamos seus autovalores resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Calculemos o polinômio característico:
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 2\\[4pt] 2 & 3-\lambda & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda)^{2}-4(3-\lambda)-4(3-\lambda).
Fatorando (3-\lambda) obtemos
(3-\lambda)\big[(1-\lambda)(3-\lambda)-8\big]=(3-\lambda)(\lambda^{2}-4\lambda-5).
Assim os autovalores são as raízes de (3-\lambda)(\lambda^{2}-4\lambda-5)=0, ou seja
\lambda_{1}=3,\qquad \lambda_{2}=5,\qquad \lambda_{3}=-1.]

Passo 4

Agora achamos autovetores correspondentes e os normalizamos.
Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0, obtendo o sistema
-2x+2y+2z=0,\quad 2x=0,\quad 2x=0.
Daqui x=0 e y+z=0, portanto um autovetor é v_{3}=(0,1,-1). Normalizando,
e_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1).
Para \lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0, o sistema reduz-se a
-2x+y+z=0,\quad x-y=0,\quad x-z=0,
logo x=y=z. Um autovetor é v_{2}=(1,1,1). Normalizando,
e_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0, o sistema dá
x+y+z=0,\quad x+2y=0,\quad x+2z=0,
resultando em x=-2y,\;y=z. Um autovetor é v_{1}=(-2,1,1). Normalizando,
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1).
Verificamos que \{e_{2},e_{3},e_{1}\} é um conjunto ortonormal de autovetores (autovalores correspondentes 5,3,-1 respectivamente).

Passo 5

Definimos as novas coordenadas (u,v,w) como as projeções em cada eixo principal (produtos escalares com os autovetores unitários). Tomando a ordem que liga u\leftrightarrow\lambda=5, v\leftrightarrow\lambda=3, w\leftrightarrow\lambda=-1, temos
u=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z), \qquad v=\frac{1}{\sqrt{2}}(y-z), \qquad w=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2x+y+z).
Esta é uma transformação ortogonal (rotação), logo a forma quadrática se diagonaliza simplesmente substituindo x,y,z por essas combinações.

Passo 6

Na base dos autovetores a forma quadrática fica diagonal com coeficientes os autovalores. Assim a equação original transforma-se em
5u^{2}+3v^{2}-1\;w^{2}=60.
Dividindo por 60 obtemos a forma padrão
\frac{u^{2}}{12}+\frac{v^{2}}{20}-\frac{w^{2}}{60}=1.
Como dois coeficientes são positivos e um é negativo e o lado direito é positivo, a superfície é um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

5u^{2}+3v^{2}-w^{2}=60
\frac{u^{2}}{12}+\frac{v^{2}}{20}-\frac{w^{2}}{60}=1
u=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z),\qquad v=\frac{1}{\sqrt{2}}(y-z),\qquad w=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2x+y+z)

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