Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
x{2}+y{2}+z^{2}+4 x y+2 x z-2 y z=12
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática em três variáveis
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy+2xz-2yz=12
e pede a equação da superfície relativa aos eixos principais (ou seja, reduzir a forma quadrática a uma forma diagonal por mudança ortogonal de variáveis). Informações relevantes que temos: os coeficientes mistos são 4 para xy, 2 para xz e -2 para yz; o termo independente (lado direito) é 12. A tarefa é (i) diagonalizar a forma quadrática e (ii) escrever a equação no sistema de eixos principais (coordenadas principais).
Passo 2
Representamos a forma quadrática por uma matriz simétrica A tal que (x,y,z)A(x,y,z)^T reproduz a expressão dada. A relação entre coeficientes é: se a forma tem 2a_{ij}x_ix_j com i\ne j, então a_{ij} é metade do coeficiente misto. Assim obtemos
Multiplicando por -1 obtemos \lambda^3-3\lambda^2-3\lambda+9. Verificamos que \lambda=3 é raiz (pois 27-27-9+9=0), e a divisão polinomial dá o quociente \lambda^2-3. Portanto os autovalores são
Note que há dois autovalores positivos e um negativo, o que antecipará o tipo da superfície.]
Passo 4
Agora achamos autovetores. Para \lambda_1=3 resolvemos (A-3I)v=0. O sistema leva a
-2x+2y+z=0,\qquad x-y-2z=0,
dando y=x e z=0. Um autovetor correspondente é
v_1=(1,1,0).
Para \lambda_2=\sqrt{3} e \lambda_3=-\sqrt{3} é conveniente buscar vetores com x+y=0 (ou seja, perpendiculares a v_1), pois as multiplicidades e a simetria permitem tal escolha. Seja y=-x e escreva v=(x,-x,z). Aplicando A v=\lambda v obtemos, após manipulação,
z=(1+\lambda)x.
Assim para \lambda_2=\sqrt{3} obtemos um autovetor
v_2=(1,-1,1+\sqrt{3}),
e para \lambda_3=-\sqrt{3} obtemos
v_3=(1,-1,1-\sqrt{3}).
Verificamos que v_2 e v_3 são ortogonais entre si e também ortogonais a v_1 (confirmando que podemos escolher uma base ortogonal de autovetores).
Passo 5
Normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal (colunas de uma matriz ortogonal P). As normas são
Por diagonalização ortogonal, na base (u,v,w) a forma quadrática fica diagonal com coeficientes os autovalores: \lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2.
Passo 7
Substituindo os autovalores obtemos a equação equivalente em coordenadas principais:
3u^{2}+\sqrt{3}\,v^{2}-\sqrt{3}\,w^{2}=12.
Dividindo por 12 e reescrevendo na forma padrão, uma forma conveniente é