Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
x{2}+y{2}+z^{2}+4 x y+2 x z-2 y z=12

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática em três variáveis
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy+2xz-2yz=12
e pede a equação da superfície relativa aos eixos principais (ou seja, reduzir a forma quadrática a uma forma diagonal por mudança ortogonal de variáveis). Informações relevantes que temos: os coeficientes mistos são 4 para xy, 2 para xz e -2 para yz; o termo independente (lado direito) é 12. A tarefa é (i) diagonalizar a forma quadrática e (ii) escrever a equação no sistema de eixos principais (coordenadas principais).

Passo 2

Representamos a forma quadrática por uma matriz simétrica A tal que (x,y,z)A(x,y,z)^T reproduz a expressão dada. A relação entre coeficientes é: se a forma tem 2a_{ij}x_ix_j com i\ne j, então a_{ij} é metade do coeficiente misto. Assim obtemos
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
pois a_{11}=1,a_{22}=1,a_{33}=1, 2a_{12}=4\Rightarrow a_{12}=2, 2a_{13}=2\Rightarrow a_{13}=1, 2a_{23}=-2\Rightarrow a_{23}=-1.]

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Calculemos o polinômio característico:
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1-\lambda & -1\\[4pt] 1 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda-9.
Multiplicando por -1 obtemos \lambda^3-3\lambda^2-3\lambda+9. Verificamos que \lambda=3 é raiz (pois 27-27-9+9=0), e a divisão polinomial dá o quociente \lambda^2-3. Portanto os autovalores são
\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=\sqrt{3},\qquad \lambda_3=-\sqrt{3}.
Note que há dois autovalores positivos e um negativo, o que antecipará o tipo da superfície.]

Passo 4

Agora achamos autovetores. Para \lambda_1=3 resolvemos (A-3I)v=0. O sistema leva a
-2x+2y+z=0,\qquad x-y-2z=0,
dando y=x e z=0. Um autovetor correspondente é
v_1=(1,1,0).
Para \lambda_2=\sqrt{3} e \lambda_3=-\sqrt{3} é conveniente buscar vetores com x+y=0 (ou seja, perpendiculares a v_1), pois as multiplicidades e a simetria permitem tal escolha. Seja y=-x e escreva v=(x,-x,z). Aplicando A v=\lambda v obtemos, após manipulação,
z=(1+\lambda)x.
Assim para \lambda_2=\sqrt{3} obtemos um autovetor
v_2=(1,-1,1+\sqrt{3}),
e para \lambda_3=-\sqrt{3} obtemos
v_3=(1,-1,1-\sqrt{3}).
Verificamos que v_2 e v_3 são ortogonais entre si e também ortogonais a v_1 (confirmando que podemos escolher uma base ortogonal de autovetores).

Passo 5

Normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal (colunas de uma matriz ortogonal P). As normas são
\|v_1\|=\sqrt{2},\qquad \|v_2\|=\sqrt{6+2\sqrt{3}},\qquad \|v_3\|=\sqrt{6-2\sqrt{3}}.
Logo os vetores unitários são
e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0),
e_2=\frac{1}{\sqrt{6+2\sqrt{3}}}\bigl(1,-1,1+\sqrt{3}\bigr),
e_3=\frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{3}}}\bigl(1,-1,1-\sqrt{3}\bigr).

Passo 6

Definimos as coordenadas principais (u,v,w) pelas projeções nas direções dos autovetores unitários:
u=e_1\cdot (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y),
v=e_2\cdot (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{6+2\sqrt{3}}}\bigl(x-y+(1+\sqrt{3})z\bigr),
w=e_3\cdot (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{3}}}\bigl(x-y+(1-\sqrt{3})z\bigr).
Por diagonalização ortogonal, na base (u,v,w) a forma quadrática fica diagonal com coeficientes os autovalores: \lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2.

Passo 7

Substituindo os autovalores obtemos a equação equivalente em coordenadas principais:
3u^{2}+\sqrt{3}\,v^{2}-\sqrt{3}\,w^{2}=12.
Dividindo por 12 e reescrevendo na forma padrão, uma forma conveniente é
\frac{u^{2}}{4}+\frac{v^{2}}{4\sqrt{3}}-\frac{w^{2}}{4\sqrt{3}}=1.
Como há dois termos positivos e um negativo à esquerda, a superfície é um hiperbolóide de uma folha (one-sheet hyperboloid).

Resposta

Equação em coordenadas principais:
3u^{2}+\sqrt{3}\,v^{2}-\sqrt{3}\,w^{2}=12
com a mudança de variáveis (autovetores normalizados)
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y),
v=\frac{1}{\sqrt{6+2\sqrt{3}}}\bigl(x-y+(1+\sqrt{3})z\bigr),
w=\frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{3}}}\bigl(x-y+(1-\sqrt{3})z\bigr).
Forma padrão equivalente:
\frac{u^{2}}{4}+\frac{v^{2}}{4\sqrt{3}}-\frac{w^{2}}{4\sqrt{3}}=1,
ou seja, a superfície é um hiperbolóide de uma folha.

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