Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
\int \frac{d x}{x\left(1+\ln ^{2} x\right)}

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral
\int \frac{dx}{x\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)}.
  • Informação relevante: a presença de \ln x sugere que a integral está definida para x>0 (pois \ln x real exige x>0).
  • Não foi pedido método específico além de “realizando uma substituição simples”.

Passo 2

Ideia da substituição e por quê:
  • Quando se vê um fator 1/x junto com uma função de \ln x, é natural tentar a substituição
u=\ln x,
porque a derivada de \ln x é exatamente 1/x, o que simplifica a diferencial.
  • Calculando a diferencial:
du=\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad dx=\;x\,du,
mas aqui o que nos interessa é a forma direta du=\dfrac{dx}{x}, então o pedaço \dfrac{dx}{x} na integral vira du.

Passo 3

Fazer a mudança de variável na integral:
  • Substituindo u=\ln x e du=\dfrac{dx}{x}, a integral original transforma-se em
\int \frac{dx}{x\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)}=\int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 4

Calcular a integral em u e retornar a x:
  • Sabe-se (ou verifica-se pela derivação) que a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u, pois
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
  • Logo
\int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C.
  • Voltando à variável x com u=\ln x, obtemos a primitiva buscada:
\arctan\bigl(\ln x\bigr)+C.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Diferenciando \arctan(\ln x) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(\ln x)\bigr]=\frac{1}{1+\ln^{2}x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{1+\ln^{2}x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)},
que é exatamente o integrando. Portanto a resposta está correta (para x>0).

Resposta

\arctan(\ln x)+C

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