Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral
- Informação relevante: a presença de
sugere que a integral está definida para (pois real exige ). - Não foi pedido método específico além de “realizando uma substituição simples”.
Passo 2
Ideia da substituição e por quê:
- Quando se vê um fator
junto com uma função de , é natural tentar a substituição
porque a derivada de
é exatamente
, o que simplifica a diferencial.
- Calculando a diferencial:
mas aqui o que nos interessa é a forma direta
, então o pedaço
na integral vira
.
Passo 3
Fazer a mudança de variável na integral:
- Substituindo
e , a integral original transforma-se em
Passo 4
Calcular a integral em
e retornar a
:
- Sabe-se (ou verifica-se pela derivação) que a primitiva de
é , pois
- Logo
- Voltando à variável
com , obtemos a primitiva buscada:
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Diferenciando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Portanto a resposta está correta (para
).