Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
\int\left(1-e^{\operatorname{tg} x}\right) \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
\int\left(1-e^{\operatorname{tg} x}\right)\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \left(1-e^{\operatorname{tg} x}\right)\operatorname{sec}^{2}x.
  • A variável de integração é x.
    O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (a integral indefinida) da função dada, ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\left(1-e^{\operatorname{tg} x}\right)\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Observação útil (fato que será usado): a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Escrevendo isso com precisão:
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
Esse tipo de coincidência — uma parte da integranda sendo exatamente a derivada de outra parte — é o sinal clássico de que uma substituição do tipo u=algo pode simplificar a integral.

Passo 3

Fazemos a substituição natural:
u=\tan x.
Agora calculamos o diferencial du usando a igualdade do Passo 2:
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Portanto o fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx presente na integral é exatamente du.

Passo 4

Reescrevemos a integral original em termos de u. Substituindo u=\tan x e du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, obtemos
\int\left(1-e^{\operatorname{tg} x}\right)\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int(1-e^{u})\,du.

Passo 5

Integramos em u. A integral é simples e pode ser dividida em duas:
\int(1-e^{u})\,du=\int 1\,du-\int e^{u}\,du.
Calculando:
\int 1\,du=u,\qquad \int e^{u}\,du=e^{u}.
Logo
\int(1-e^{u})\,du=u-e^{u}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável x (substituindo u=\tan x), a primitiva fica
\tan x-e^{\tan x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x-e^{\tan x}\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x - e^{\tan x}\cdot\operatorname{sec}^{2}x=(1-e^{\tan x})\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente a integranda. Está correto.

Resposta

\tan x-e^{\tan x}+C

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