Calcule as integrais a seguir realizando uma substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A variável de integração é
.
O que se pede: - Encontrar uma primitiva (a integral indefinida) da função dada, ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Observação útil (fato que será usado): a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Escrevendo isso com precisão:
Esse tipo de coincidência — uma parte da integranda sendo exatamente a derivada de outra parte — é o sinal clássico de que uma substituição do tipo
algo pode simplificar a integral.
Passo 3
Fazemos a substituição natural:
Agora calculamos o diferencial
usando a igualdade do Passo 2:
Portanto o fator
presente na integral é exatamente
.
Passo 4
Reescrevemos a integral original em termos de
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Integramos em
. A integral é simples e pode ser dividida em duas:
Calculando:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável
(substituindo
), a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
que é exatamente a integranda. Está correto.