Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{1}{(4 x+5)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{(4x+5)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{(4x+5)^{3/2}}, ou seja, (4x+5)^{-3/2}.
  • A variável de integração é x.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática).
Quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo (ax+b)^{n}, uma escolha natural é fazer a substituição u=ax+b. Isso funciona bem porque a derivada de ax+b é uma constante e a substituição transforma a integral numa potência simples u^{n} que sabemos integrar com a regra de potência.
Lembrete da regra de potência para integração:
\text{Se } n\neq -1 \text{ então } \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.ã
Aqui temos n=-\tfrac{3}{2}, que é diferente de -1, então a regra vale.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u=4x+5.
Calculamos du em função de dx:
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{4}.

Passo 4

Reescrever a integral em u. Substituindo (4x+5)^{-3/2}=u^{-3/2} e dx=\dfrac{du}{4} obtemos
\int \frac{1}{(4x+5)^{3/2}}\,dx = \int u^{-3/2}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{-3/2}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra de potência. Aqui n=-\tfrac{3}{2}, então n+1=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\frac{1}{4}\int u^{-3/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{-1/2}}{-1/2}+C.
Calcule o fator constante:
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{-1/2}=\frac{1}{4}\cdot(-2)=-\frac{1}{2}.
Logo a primitiva em u é
-\frac{1}{2}u^{-1/2}+C.
Voltando para a variável x usando u=4x+5:
-\frac{1}{2}(4x+5)^{-1/2}+C.
Escrevendo com raiz:
-\frac{1}{2\sqrt{4x+5}}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando a primitiva para conferir). Seja F(x)=-\dfrac{1}{2}(4x+5)^{-1/2}. Usando regra da cadeia e regra da potência:
F'(x) = -\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(4x+5)^{-3/2}\cdot 4.
Calcule os fatores constantes:
-\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 4 = \left(\tfrac{1}{4}\right)\cdot 4 = 1.
Portanto
F'(x) = (4x+5)^{-3/2} = \frac{1}{(4x+5)^{3/2}},
ou seja, recuperamos a integranda, confirmação de que a primitiva está correta.

Passo 7

Dica para prova: reconhecer padrões acelera. Sempre que vir (ax+b)^{m} tente u=ax+b. Para expoentes do tipo -\tfrac{3}{2} pense em (\sqrt{\cdot})^{-3} ou diretamente na regra de potência; a conta de constantes vem da substituição du=ax'\,dx.

Resposta

-\dfrac{1}{2\sqrt{4x+5}}+C

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