Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
, ou seja, . - A variável de integração é
.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática).
Quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo , uma escolha natural é fazer a substituição
. Isso funciona bem porque a derivada de
é uma constante e a substituição transforma a integral numa potência simples
que sabemos integrar com a regra de potência.
Quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo
Lembrete da regra de potência para integração:
Aqui temos
, que é diferente de
, então a regra vale.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Calculamos
em função de
:
Passo 4
Reescrever a integral em
. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Integrar usando a regra de potência. Aqui
, então
. Aplicando a fórmula:
Calcule o fator constante:
Logo a primitiva em
é
Voltando para a variável
usando
:
Escrevendo com raiz:
Passo 6
Verificação rápida (derivando a primitiva para conferir). Seja
. Usando regra da cadeia e regra da potência:
Calcule os fatores constantes:
Portanto
ou seja, recuperamos a integranda, confirmação de que a primitiva está correta.
Passo 7
Dica para prova: reconhecer padrões acelera. Sempre que vir
tente
. Para expoentes do tipo
pense em
ou diretamente na regra de potência; a conta de constantes vem da substituição
.