Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que será usado:
- A expressão a integrar é uma razão de exponenciais.
- Podemos usar propriedades algébricas de exponenciais, linearidade da integral e as integrais elementares de exponenciais.
- O objetivo final é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, acrescentando a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dentro da integral usando a propriedade de potência de exponenciais. Podemos separar o quociente em duas parcelas:
Lembre que para qualquer base positiva
vale
. Aplicando aqui:
Portanto a integranda fica
Passo 3
Usar a linearidade da integral para separar as parcelas. A propriedade é:
e
para constante
. Assim:
Passo 4
Calcular
.
Regra usada: para qualquer constante tem-se
, porque a derivada de
é
. No caso
,
Regra usada: para qualquer constante
(Aqui o
será acrescentado só no final.)
Passo 5
Calcular
.
Aplicando a mesma regra com :
Aplicando a mesma regra com
Se preferir, pode ver por substituição: tome
, então
,
.
Passo 6
Juntar os resultados das duas integrais:
Acrescentar a constante de integração
.