Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{e^{2 x}+4}{e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{2x}+4}{e^{x}}\,dx.
Informações dadas e o que será usado:
  • A expressão a integrar é uma razão de exponenciais.
  • Podemos usar propriedades algébricas de exponenciais, linearidade da integral e as integrais elementares de exponenciais.
  • O objetivo final é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, acrescentando a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dentro da integral usando a propriedade de potência de exponenciais. Podemos separar o quociente em duas parcelas:
\frac{e^{2x}+4}{e^{x}}=\frac{e^{2x}}{e^{x}}+\frac{4}{e^{x}}.
Lembre que para qualquer base positiva a vale \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Aplicando aqui:
\frac{e^{2x}}{e^{x}}=e^{2x-x}=e^{x}, \qquad \frac{4}{e^{x}}=4e^{-x}.
Portanto a integranda fica
\frac{e^{2x}+4}{e^{x}}=e^{x}+4e^{-x}.

Passo 3

Usar a linearidade da integral para separar as parcelas. A propriedade é: \int (f+g)=\int f +\int g e \int c\,f = c\int f para constante c. Assim:
\int \frac{e^{2x}+4}{e^{x}}\,dx=\int e^{x}\,dx + 4\int e^{-x}\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int e^{x}\,dx.
Regra usada: para qualquer constante a tem-se \displaystyle \int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C, porque a derivada de e^{a x} é a e^{a x}. No caso a=1,
\int e^{x}\,dx=e^{x}.
(Aqui o +C será acrescentado só no final.)

Passo 5

Calcular \displaystyle \int e^{-x}\,dx.
Aplicando a mesma regra com a=-1:
\int e^{-x}\,dx=\frac{1}{-1}e^{-x}=-e^{-x}.
Se preferir, pode ver por substituição: tome u=-x, então du=-dx, \int e^{-x}\,dx=\int e^{u}(-du)=-\int e^{u}du=-e^{u}=-e^{-x}.

Passo 6

Juntar os resultados das duas integrais:
\int e^{x}\,dx + 4\int e^{-x}\,dx = e^{x} + 4\cdot(-e^{-x}) = e^{x}-4e^{-x}.
Acrescentar a constante de integração C.

Resposta

e^{x}-4e^{-x}+C

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