Determine a primitiva ou antiderivada mais geral das funções abaixo
f(t)=\frac{3 t^{4}-t^{3}+6 t^{2}}{\sqrt{t}}

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função
f(t)=\frac{3 t^{4}-t^{3}+6 t^{2}}{\sqrt{t}}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função está escrita como uma fração com \sqrt{t} no denominador; por isso implicita-se que estamos considerando t>0 (para evitar problemas com raízes e domínio).
  • Objetivo: achar uma função F(t) tal que \,F'(t)=f(t)\,, escrevendo a primitiva mais geral com a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão dividindo cada termo por \sqrt{t}. Lembre que \sqrt{t}=t^{1/2} e que ao dividir potências soma-se os expoentes com o expoente negativo. Então:
f(t)=\frac{3 t^{4}-t^{3}+6 t^{2}}{t^{1/2}} = 3\,t^{4-\tfrac{1}{2}} - 1\cdot t^{3-\tfrac{1}{2}} + 6\,t^{2-\tfrac{1}{2}}.
Calculemos os expoentes:
4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{8-1}{2}=\tfrac{7}{2},\qquad 3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2},\qquad 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto podemos reescrever
f(t)=3\,t^{7/2}-t^{5/2}+6\,t^{3/2}.

Passo 3

Lembra da regra básica de integração que vamos usar (explicação didática): a integral é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem fora da integral. Além disso, a regra de potência diz:
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui n é o expoente de t. Essa fórmula vem de inverter a derivada de t^{n+1}: \frac{d}{dt}\big(\frac{t^{n+1}}{n+1}\big)=t^{n}. Vamos aplicar essa regra termo a termo em f(t).

Passo 4

Integramos cada termo separadamente.
  1. Para o primeiro termo:
\int 3\,t^{7/2}\,dt = 3\int t^{7/2}\,dt =3\cdot\frac{t^{9/2}}{9/2} =3\cdot\frac{2}{9}\,t^{9/2} =\frac{6}{9}\,t^{9/2} =\frac{2}{3}\,t^{9/2}.
  1. Para o segundo termo:
\int -t^{5/2}\,dt = -\int t^{5/2}\,dt =-\frac{t^{7/2}}{7/2} =-\frac{2}{7}\,t^{7/2}.
  1. Para o terceiro termo:
\int 6\,t^{3/2}\,dt = 6\int t^{3/2}\,dt =6\cdot\frac{t^{5/2}}{5/2} =6\cdot\frac{2}{5}\,t^{5/2} =\frac{12}{5}\,t^{5/2}.

Passo 5

Somando as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva mais geral:
F(t)=\frac{2}{3}\,t^{9/2}-\frac{2}{7}\,t^{7/2}+\frac{12}{5}\,t^{5/2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (cheque mental): derivando F(t) deve voltar f(t).
Calculemos a derivada termo a termo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{2}{3}t^{9/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}t^{7/2}=3t^{7/2},
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{2}{7}t^{7/2}\right)=-\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}t^{5/2}=-t^{5/2},
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{12}{5}t^{5/2}\right)=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{2}t^{3/2}=6t^{3/2}.
Somando dá exatamente 3t^{7/2}-t^{5/2}+6t^{3/2}, que é igual a f(t) depois que simplificamos pela raiz. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\,t^{9/2}-\frac{2}{7}\,t^{7/2}+\frac{12}{5}\,t^{5/2}+C

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