Determine a primitiva ou antiderivada mais geral das funções abaixo
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função está escrita como uma fração com
no denominador; por isso implicita-se que estamos considerando (para evitar problemas com raízes e domínio). - Objetivo: achar uma função
tal que , escrevendo a primitiva mais geral com a constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão dividindo cada termo por
. Lembre que
e que ao dividir potências soma-se os expoentes com o expoente negativo. Então:
Calculemos os expoentes:
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Lembra da regra básica de integração que vamos usar (explicação didática): a integral é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem fora da integral. Além disso, a regra de potência diz:
Aqui
é o expoente de
. Essa fórmula vem de inverter a derivada de
:
. Vamos aplicar essa regra termo a termo em
.
Passo 4
Integramos cada termo separadamente.
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- Para o terceiro termo:
Passo 5
Somando as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva mais geral:
Passo 6
Verificação rápida (cheque mental): derivando
deve voltar
.
Calculemos a derivada termo a termo:
Calculemos a derivada termo a termo:
Somando dá exatamente
, que é igual a
depois que simplificamos pela raiz. Então está correto.