Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int y^{-2} e^{1 / y} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int y^{-2} e^{1/y}\,dy.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \,y^{-2} e^{1/y}\,.
  • A variável de integração é y.
  • Note que há uma singularidade em y=0 (a função não está definida aí), então a primitiva válida será para y\neq0.
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática da técnica de substituição).
Quando o integrando tem uma parte que é uma função composta f(g(y)) e aparece junto o fator proporcional a g'(y), a substituição u=g(y) simplifica muito: transforma a integral em uma integral em u mais simples. Em termos gerais, se definirmos
u=g(y)\quad\text{e}\quad du=g'(y)\,dy,
então
\int g'(y)\,f(g(y))\,dy=\int f(u)\,du.
Aqui, no integrando \,y^{-2} e^{1/y}\,, a parte e^{1/y} é da forma f(g(y)) com g(y)=1/y. Vamos verificar se o restante do integrando é proporcional a g'(y). Esse é o motivo para tentar a substituição u=1/y.
Um exemplo simples para fixar a ideia: \int \cos(2x)\,dx. Tomando u=2x temos du=2\,dx, ou dx=\tfrac{1}{2}du, e a integral vira \tfrac{1}{2}\int\cos(u)\,du=\tfrac{1}{2}\sin(u)+C.

Passo 3

Aplicando a substituição aqui: defina
u=\frac{1}{y}.
Calcule du em função de dy. Como u=y^{-1}, pela regra da derivada
\frac{du}{dy} = -y^{-2}.
Isso significa que
du = -y^{-2}\,dy \quad\Longrightarrow\quad y^{-2}\,dy = -du.
Portanto podemos substituir y^{-2}\,dy por -du e e^{1/y} por e^{u}.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int y^{-2} e^{1/y}\,dy = \int e^{u} \bigl(-du\bigr) = -\int e^{u}\,du.
Agora usamos a primitiva elementar de e^{u}: sabemos que a derivada de e^{u} é e^{u} itself, portanto uma antiderivada é e^{u}.
Assim
-\int e^{u}\,du = -e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte à variável original y substituindo u=\dfrac{1}{y}:
-e^{u}+C = -e^{1/y} + C.
Essa é a primitiva da função original para y\neq0.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): calcule a derivada de -e^{1/y}.
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\left(-e^{1/y}\right) = -e^{1/y}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y}\right) = -e^{1/y}\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\right) = y^{-2} e^{1/y},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Dica final: sempre que vir um exponencial e^{\text{algo}} e perceber que o resto do integrando é a derivada desse “algo” (ou um múltiplo), pense imediatamente em substituição — isso resolve muita coisa rápido na prova.

Resposta

-e^{1/y}+C

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