Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - A variável de integração é
. - Note que há uma singularidade em
(a função não está definida aí), então a primitiva válida será para . - O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) e acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática da técnica de substituição).
Quando o integrando tem uma parte que é uma função composta
e aparece junto o fator proporcional a
, a substituição
simplifica muito: transforma a integral em uma integral em
mais simples. Em termos gerais, se definirmos
então
Aqui, no integrando
, a parte
é da forma
com
. Vamos verificar se o restante do integrando é proporcional a
. Esse é o motivo para tentar a substituição
.
Um exemplo simples para fixar a ideia:
. Tomando
temos
, ou
, e a integral vira
.
Passo 3
Aplicando a substituição aqui: defina
Calcule
em função de
. Como
, pela regra da derivada
Isso significa que
Portanto podemos substituir
por
e
por
.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora usamos a primitiva elementar de
: sabemos que a derivada de
é
itself, portanto uma antiderivada é
.
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volte à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva da função original para
.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): calcule a derivada de
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Dica final: sempre que vir um exponencial
e perceber que o resto do integrando é a derivada desse “algo” (ou um múltiplo), pense imediatamente em substituição — isso resolve muita coisa rápido na prova.