Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \sqrt{x^{2}+2 x^{4}} d x
\int \sqrt{x^{2}+2 x^{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é
. Não há outras condições no enunciado (como intervalo de
), portanto trataremos a primitiva de forma geral, lembrando que a presença de
pode aparecer ao manipular a raiz. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz: fatoramos
em
. Então
Agora use a propriedade da raiz quadrada:
Nesse ponto é importante notar que
depende do sinal de
. Como estamos calculando uma primitiva indefinida, vamos tratar os casos
e
separadamente (cada primitiva vale num intervalo onde o integrando é contínuo).
Passo 3
Caso 1:
. Nesse caso
e a integral vira
Aqui sim faz sentido aplicar o Método da Substituição: escolhemos uma substituição que simplifiesse a raiz.
Passo 4
Na substituição, tomamos
Agora calculamos
. Diferenciando,
Isso implica
Substituímos na integral do caso
:
Passo 5
Integramos em
. A primitiva de
é
. Portanto
Passo 6
Voltando à variável
(substituição inversa), para
obtemos
Passo 7
Caso 2:
. Agora
, então a integral original vira
Repetimos a mesma substituição
com
, portanto
. Assim
Passo 8
Voltando a
para
:
Passo 9
Podemos unificar as duas fórmulas usando a função sinal,
, que vale
para
e
para
. Observando os resultados, uma forma compacta é
válida para
. (Em
a primitiva pode ser definida por continuidade nos intervalos separados; a expressão acima descreve as primitivas em cada intervalo onde
é constante.)
Passo 10
Breve verificação (para ficar tranquilo): derivando a expressão para
(onde
) obtemos exatamente
, e para
a derivada também bate com o integrando. Então está coerente.