Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \sqrt{x^{2}+2 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{x^{2}+2 x^{4}}\, dx.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é \,x^{2}+2x^{4}\,. Não há outras condições no enunciado (como intervalo de x), portanto trataremos a primitiva de forma geral, lembrando que a presença de |x| pode aparecer ao manipular a raiz. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz: fatoramos x^{2} em \,x^{2}+2x^{4}=x^{2}(1+2x^{2}). Então
\sqrt{x^{2}+2x^{4}}=\sqrt{x^{2}(1+2x^{2})}.
Agora use a propriedade da raiz quadrada:
\sqrt{x^{2}(1+2x^{2})}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+2x^{2}}=|x|\sqrt{1+2x^{2}}.
Nesse ponto é importante notar que |x| depende do sinal de x. Como estamos calculando uma primitiva indefinida, vamos tratar os casos x\ge 0 e x<0 separadamente (cada primitiva vale num intervalo onde o integrando é contínuo).

Passo 3

Caso 1: x\ge 0. Nesse caso |x|=x e a integral vira
\int \sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx=\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Aqui sim faz sentido aplicar o Método da Substituição: escolhemos uma substituição que simplifiesse a raiz.

Passo 4

Na substituição, tomamos
u=1+2x^{2}.
Agora calculamos du. Diferenciando,
du=4x\,dx.
Isso implica
x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Substituímos na integral do caso x\ge 0:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{4}\,du=\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integramos em u. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{6}u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltando à variável x (substituição inversa), para x\ge 0 obtemos
\int \sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx=\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C,\qquad (x\ge 0).

Passo 7

Caso 2: x<0. Agora |x|=-x, então a integral original vira
\int \sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx=\int (-x)\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=-\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Repetimos a mesma substituição u=1+2x^{2} com du=4x\,dx, portanto x\,dx=\dfrac{1}{4}\,du. Assim
-\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = -\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = -\frac{1}{6}u^{3/2}+C.

Passo 8

Voltando a x para x<0:
\int \sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx = -\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C,\qquad (x<0).

Passo 9

Podemos unificar as duas fórmulas usando a função sinal, \operatorname{sgn}(x), que vale 1 para x>0 e -1 para x<0. Observando os resultados, uma forma compacta é
\int \sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx = \frac{1}{6}\,\operatorname{sgn}(x)\,\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C,
válida para x\neq 0. (Em x=0 a primitiva pode ser definida por continuidade nos intervalos separados; a expressão acima descreve as primitivas em cada intervalo onde \operatorname{sgn}(x) é constante.)

Passo 10

Breve verificação (para ficar tranquilo): derivando a expressão para x>0 (onde \operatorname{sgn}(x)=1) obtemos exatamente x\sqrt{1+2x^{2}}=\sqrt{x^{2}+2x^{4}}, e para x<0 a derivada também bate com o integrando. Então está coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C,\quad x\ge 0
\displaystyle -\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C,\quad x<0

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