Resolva cada um dos P.V.I.s:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
y'' - 3y' + 2y = 0, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=2
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada a
y'' - 3y' + 2y = 0
é
r^2 - 3r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2)=0
obtemos as raízes
r_1 = 1, \quad r_2 = 2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = C_1 e^{x} + 2\,C_2 e^{2x}.
Impondo as condições iniciais em x=0:
y(0)=1 \implies C_1 + C_2 = 1,
y'(0)=2 \implies C_1 + 2\,C_2 = 2.
Resolvendo o sistema,
C_2 = 1, \quad C_1 = 0.

Resposta

y(x) = e^{2x}.

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