Considere a função f(x)=-(x+1)^{2} e^{-x}.
Determine os domínios de f, f’e f’’.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-(x+1)^{2}e^{-x}
e pede que eu determine os domínios de f, de f' e de f''.
Informações dadas / perguntas a responder:
  • Função dada: \;f(x)=-(x+1)^{2}e^{-x}.
  • Perguntas: qual é o domínio de \;f\;, de \;f'\; (a derivada primeira) e de \;f''\; (a derivada segunda)?

Passo 2

Conceito importante (muito prático aqui): o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Polinômios são definidos para todo x\in\mathbb{R}. A função exponencial e^{u} é definida para todo u\in\mathbb{R}. Produtos, somas e constantes multiplicativas de funções bem definidas também são bem definidas. Portanto, só precisamos verificar se alguma parte de \;f(x)=-(x+1)^{2}e^{-x}\; tem restrição (não tem: polinômio e exponencial existem para todo real).
Logo, já antecipo que o domínio de f será todo \mathbb{R}. A confirmação formal vem abaixo.

Passo 3

Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar (explicadas devagar):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\big(u\cdot v\big)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Isso vem da definição de derivada e é a forma padrão de derivar produtos.
  • Regra da cadeia para exponencial: se h(x)=e^{g(x)}, então
h'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
No caso especial g(x)=-x, temos \dfrac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}.
Também usarei que \dfrac{d}{dx}(x+1)^{2}=2(x+1) e \dfrac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x.

Passo 4

Calcular f'(x) passo a passo.
Escrevo f(x) como produto para aplicar a regra do produto: seja g(x)=(x+1)^{2} e h(x)=e^{-x}. Então f(x)=-g(x)h(x).
Primeiro derivadas parciais:
g'(x)=2(x+1),
h'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}
(pela regra da cadeia, pois \frac{d}{dx}(-x)=-1).
Agora aplico a derivada de f:
f'(x) = -\big(g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\big).
Substituindo:
f'(x) = -\big(2(x+1)e^{-x} + (x+1)^{2}(-e^{-x})\big).
Simplifico o sinal dentro do parêntese:
f'(x) = -\big(2(x+1)e^{-x} - (x+1)^{2}e^{-x}\big).
Fatorando e^{-x} comum:
f'(x) = -e^{-x}\big(2(x+1) - (x+1)^{2}\big).
Agora simplifico a expressão algébrica dentro:
2(x+1) - (x+1)^{2} = (x+1)\big(2 - (x+1)\big) = (x+1)(1 - x).
Cuidado com sinais: 2-(x+1)=1-x. Então
f'(x) = -e^{-x}(x+1)(1-x).
Multiplicando o -1 por (1-x) (x-1). Assim obtemos a forma mais limpa:
f'(x)=e^{-x}(x+1)(x-1).

Passo 5

Interpretação do resultado e domínio de f'.
A expressão f'(x)=e^{-x}(x+1)(x-1) é produto de um exponencial (definido para todo real) e polinômios (x+1) e (x-1) (definidos para todo real). Portanto f' está definida para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o domínio de f' é \mathbb{R}.

Passo 6

Calcular f''(x) passo a passo.
É mais prático reescrever f'(x) como
f'(x)=e^{-x}\big(x^{2}-1\big),
pois (x+1)(x-1)=x^{2}-1.
Agora aplico a regra do produto a u(x)=e^{-x} e v(x)=x^{2}-1. Já sei que u'(x)=-e^{-x} e v'(x)=2x. Então
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = -e^{-x}(x^{2}-1) + e^{-x}\cdot 2x.
Fatorando e^{-x}:
f''(x)=e^{-x}\big(- (x^{2}-1) + 2x\big).
Simplificando o conteúdo do colchete:
- (x^{2}-1) + 2x = -x^{2} + 1 + 2x = -x^{2} + 2x + 1.
Portanto
f''(x)=e^{-x}\big(-x^{2}+2x+1\big).

Passo 7

Domínio de f''.
Novamente, f''(x) é produto de e^{-x} (definido para todo real) e de um polinômio -x^{2}+2x+1 (definido para todo real). Logo f'' está definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio de f'' também é \mathbb{R}.

Passo 8

Resumo prático (o que eu usei e por que funciona na prova):
  • Polinômios e exponenciais não têm restrição de domínio: isso resolve a maior parte dos problemas de domínio.
  • Para derivar, usei produto + cadeia (derivada do exponencial composta). A simplificação algébrica (fatorar e arrumar sinais) é importante para obter formas factorizadas úteis em problemas de estudo de sinais, máximos/minimos, etc.
  • Se precisar, podemos fatorar -x^{2}+2x+1 para estudar os zeros de f'', mas aqui só se pediu domínio.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{Dom}(f')=\mathbb{R}
\mathrm{Dom}(f'')=\mathbb{R}

Exercícios relacionados