Considere a função
.
Determine os domínios de
, f’e f’’.
Determine os domínios de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine os domínios de
, de
e de
.
Informações dadas / perguntas a responder:
- Função dada:
. - Perguntas: qual é o domínio de
, de (a derivada primeira) e de (a derivada segunda)?
Passo 2
Conceito importante (muito prático aqui): o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Polinômios são definidos para todo
. A função exponencial
é definida para todo
. Produtos, somas e constantes multiplicativas de funções bem definidas também são bem definidas. Portanto, só precisamos verificar se alguma parte de
tem restrição (não tem: polinômio e exponencial existem para todo real).
Logo, já antecipo que o domínio de
será todo
. A confirmação formal vem abaixo.
Passo 3
Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar (explicadas devagar):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isso vem da definição de derivada e é a forma padrão de derivar produtos.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
No caso especial
, temos
.
Também usarei que
e
.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Escrevo
como produto para aplicar a regra do produto: seja
e
. Então
.
Primeiro derivadas parciais:
(pela regra da cadeia, pois
).
Agora aplico a derivada de
:
Substituindo:
Simplifico o sinal dentro do parêntese:
Fatorando
comum:
Agora simplifico a expressão algébrica dentro:
Cuidado com sinais:
. Então
Multiplicando o
por
dá
. Assim obtemos a forma mais limpa:
Passo 5
Interpretação do resultado e domínio de
.
A expressão
é produto de um exponencial (definido para todo real) e polinômios
e
(definidos para todo real). Portanto
está definida para todo
. Ou seja, o domínio de
é
.
Passo 6
Calcular
passo a passo.
É mais prático reescrever
como
pois
.
Agora aplico a regra do produto a
e
. Já sei que
e
. Então
Fatorando
:
Simplificando o conteúdo do colchete:
Portanto
Passo 7
Domínio de
.
Novamente,
é produto de
(definido para todo real) e de um polinômio
(definido para todo real). Logo
está definida para todo
. Assim o domínio de
também é
.
Passo 8
Resumo prático (o que eu usei e por que funciona na prova):
- Polinômios e exponenciais não têm restrição de domínio: isso resolve a maior parte dos problemas de domínio.
- Para derivar, usei produto + cadeia (derivada do exponencial composta). A simplificação algébrica (fatorar e arrumar sinais) é importante para obter formas factorizadas úteis em problemas de estudo de sinais, máximos/minimos, etc.
- Se precisar, podemos fatorar
para estudar os zeros de , mas aqui só se pediu domínio.