Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{x}{(x+5)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{(x+5)^{3/2}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é a razão de x por (x+5)^{3/2}.
  • O enunciado permite usar substituição ou integração por partes; aqui uma substituição vai simplificar muito a integral.
  • O objetivo final é obter uma primitiva da função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
  • Quando o integrando contém uma expressão composta como (x+5) elevada a uma potência, uma boa escolha é definir uma nova variável u igual a essa expressão interna. Isso costuma transformar a integral numa soma de potências simples de u, que são fáceis de integrar com a regra do poder.
  • A regra de substituição: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx e substituímos dx por du/g'(x), obtendo uma integral em u.
Aqui escolhemos a substituição
u = x+5.
Então
du = dx
e também
x = u-5.

Passo 3

Fazer a substituição na integral e simplificar (passo a passo):
\int \frac{x}{(x+5)^{3/2}}\,dx = \int \frac{u-5}{u^{3/2}}\,du.
Agora distribuo a divisão por u^{3/2} e escrevo com potências:
\int \frac{u-5}{u^{3/2}}\,du = \int \bigl(u\cdot u^{-3/2} - 5\cdot u^{-3/2}\bigr)\,du = \int \bigl(u^{-1/2} - 5u^{-3/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integrar termo a termo usando a regra do poder (aula rápida):
  • Regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando aos termos:
  1. Para u^{-1/2}: aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
  1. Para -5u^{-3/2}: fator constante para fora e n=-\tfrac{3}{2}, então
\int -5u^{-3/2}\,du = -5\cdot\frac{u^{(-3/2)+1}}{(-3/2)+1} = -5\cdot\frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -5\cdot(-2)u^{-1/2} =10u^{-1/2}.
Somando os dois resultados obtemos a primitiva em u:
2u^{1/2}+10u^{-1/2}+C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=x+5:
2(x+5)^{1/2}+10(x+5)^{-1/2}+C.
Podemos também escrever de forma equivalente usando raiz:
2\sqrt{x+5}+\frac{10}{\sqrt{x+5}}+C.

Resposta

2\sqrt{x+5}+\dfrac{10}{\sqrt{x+5}}+C

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