Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que temos:
- A função a integrar é a razão de
por . - O enunciado permite usar substituição ou integração por partes; aqui uma substituição vai simplificar muito a integral.
- O objetivo final é obter uma primitiva da função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
- Quando o integrando contém uma expressão composta como
elevada a uma potência, uma boa escolha é definir uma nova variável igual a essa expressão interna. Isso costuma transformar a integral numa soma de potências simples de , que são fáceis de integrar com a regra do poder. - A regra de substituição: se
então e substituímos por , obtendo uma integral em .
Aqui escolhemos a substituição
Então
e também
Passo 3
Fazer a substituição na integral e simplificar (passo a passo):
Agora distribuo a divisão por
e escrevo com potências:
Passo 4
Integrar termo a termo usando a regra do poder (aula rápida):
- Regra do poder para integrais: para
,
Aplicando aos termos:
- Para
: aqui , então
- Para
: fator constante para fora e , então
Somando os dois resultados obtemos a primitiva em
:
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Podemos também escrever de forma equivalente usando raiz: