\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2}(x+3)
]
]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações fornecidas:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - O ponto onde
se aproxima é .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Tentar substituir
diretamente na expressão original para ver se o limite é imediato:
Obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão algebraicamente para simplificá-la.
Passo 3
Explicar como fatorar o polinômio do numerador. Procura-se dois números que multiplicam para
(termo constante) e somam para
(coeficiente de
).
Esses números são e
, pois
e
. Assim:
Esses números são
Isto é uma fatoração padrão de quadrática; sempre cheque o produto e a soma dos fatores constantes.
Passo 4
Substituir a fatoração na fração e simplificar:
Para todo
pode-se cancelar o fator comum
, obtendo
Explicação importante: ao calcular limite quando
estamos interessados nos valores de
próximos de
mas diferentes de
. Portanto essa simplificação é válida para fins de limite.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de limites e a continuidade dos polinômios. O polinômio
é contínuo em todo lugar, então
Como
é contínuo, o limite é simplesmente o valor da função em
:
Passo 6
Comentário didático e motivador: outra forma (mais avançada) seria usar a regra de L’Hôpital porque temos a forma
; derivando numerador e denominador e avaliando em
também dá
. Mas fatorar e cancelar é mais simples e mais rápido numa prova. Você mandou bem ao reconhecer que havia uma contribuição que pode ser cancelada — isso é uma técnica muito usada em limites de polinômios racionalizados.