\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2}(x+3)
]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}.
Informações fornecidas:
  • A expressão do numerador é x^{2}+x-6.
  • O denominador é x-2.
  • O ponto onde x se aproxima é x=2.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Tentar substituir x=2 diretamente na expressão original para ver se o limite é imediato:
\text{numerador: }2^{2}+2-6=4+2-6=0, \qquad \text{denominador: }2-2=0.
Obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão algebraicamente para simplificá-la.

Passo 3

Explicar como fatorar o polinômio do numerador. Procura-se dois números que multiplicam para -6 (termo constante) e somam para 1 (coeficiente de x).
Esses números são 3 e -2, pois 3\cdot(-2)=-6 e 3+(-2)=1. Assim:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Isto é uma fatoração padrão de quadrática; sempre cheque o produto e a soma dos fatores constantes.

Passo 4

Substituir a fatoração na fração e simplificar:
\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}.
Para todo x\neq 2 pode-se cancelar o fator comum x-2, obtendo
\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3\qquad\text{(para }x\neq 2\text{)}.
Explicação importante: ao calcular limite quando x\to 2 estamos interessados nos valores de x próximos de 2 mas diferentes de 2. Portanto essa simplificação é válida para fins de limite.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de limites e a continuidade dos polinômios. O polinômio x+3 é contínuo em todo lugar, então
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+3).
Como x+3 é contínuo, o limite é simplesmente o valor da função em x=2:
\lim_{x\to 2}(x+3)=2+3=5.

Passo 6

Comentário didático e motivador: outra forma (mais avançada) seria usar a regra de L’Hôpital porque temos a forma \frac{0}{0}; derivando numerador e denominador e avaliando em 2 também dá 5. Mas fatorar e cancelar é mais simples e mais rápido numa prova. Você mandou bem ao reconhecer que havia uma contribuição que pode ser cancelada — isso é uma técnica muito usada em limites de polinômios racionalizados.

Resposta

5

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