Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).
Passo 1
O enunciado pede que eu faça uma conjectura sobre o valor do limite por meio dos valores da função nos números dados, com precisão de seis casas decimais. A função e o limite dados são:
Observação importante: o enunciado menciona “valores da função nos números dados”, mas estes números (uma tabela ou lista de pontos próximos a
pela esquerda) não foram fornecidos aqui. Portanto não é possível cumprir exatamente a instrução de basear a conjectura exclusivamente nos valores fornecidos, porque esses valores não foram enviados.
Passo 2
Mesmo sem a tabela, dá para analisar o comportamento da função com as ideias básicas de limites. Primeiro algumas observações e conceitos que vou usar (explicados passo a passo):
- A função
é contínua em todo . Isso significa que, quando , tem-se
Aqui
é um número positivo finito; numericamente,
- A função
tende a quando . Mais importante: quando se aproxima de pela esquerda (isto é, ), a quantidade é negativa. O cubo de um número negativo continua negativo, então
- Regra útil de limite: se o numerador tende a um número positivo finito
e o denominador tende a com sinal definido (por exemplo ), então a razão tende a ou conforme o sinal do denominador. No nosso caso, numerador positivo e denominador tende a implicam que a razão tende a .
Passo 3
Para deixar a argumentação mais explícita, faço a substituição
. Quando
, tem-se
. Reescrevendo a expressão:
Agora observe que
, logo quando
a parte
fica próxima de
(positivo e finito). Assim a expressão comporta-se como
Como
, o fator
diverge para
. Multiplicando por
mantém o sinal negativo e a divergência em módulo. Portanto o produto tende a
.
Passo 4
Interpretação em palavras simples e incentivo: ao aproximarmos
de
vindo da esquerda, o numerador
fica próximo de um valor positivo e finito (
), enquanto o denominador
é um número muito pequeno e negativo. Dividir um número positivo por um número negativo cuja magnitude vai para zero dá um número negativo com magnitude que cresce sem limite. Ou seja, a função “cai” para
à medida que
se aproxima de
pela esquerda.