Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça uma conjectura sobre o valor do limite por meio dos valores da função nos números dados, com precisão de seis casas decimais. A função e o limite dados são:
\lim_{x\to5^{-}}\frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}.
Observação importante: o enunciado menciona “valores da função nos números dados”, mas estes números (uma tabela ou lista de pontos próximos a 5 pela esquerda) não foram fornecidos aqui. Portanto não é possível cumprir exatamente a instrução de basear a conjectura exclusivamente nos valores fornecidos, porque esses valores não foram enviados.

Passo 2

Mesmo sem a tabela, dá para analisar o comportamento da função com as ideias básicas de limites. Primeiro algumas observações e conceitos que vou usar (explicados passo a passo):
  • A função e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que, quando x\to5, tem-se
e^{x}\to e^{5}.
Aqui e^{5} é um número positivo finito; numericamente,
e^{5}\approx148,413159.
  • A função (x-5)^{3} tende a 0 quando x\to5. Mais importante: quando x se aproxima de 5 pela esquerda (isto é, x<5), a quantidade x-5 é negativa. O cubo de um número negativo continua negativo, então
(x-5)^{3}\to 0^{-}\quad\text{quando}\quad x\to5^{-}.
  • Regra útil de limite: se o numerador tende a um número positivo finito L>0 e o denominador tende a 0 com sinal definido (por exemplo 0^{-}), então a razão tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do denominador. No nosso caso, numerador positivo e denominador tende a 0^{-} implicam que a razão tende a -\infty.

Passo 3

Para deixar a argumentação mais explícita, faço a substituição h=x-5. Quando x\to5^{-}, tem-se h\to0^{-}. Reescrevendo a expressão:
\frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}=\frac{e^{5+h}}{h^{3}}=e^{5}\cdot\frac{e^{h}}{h^{3}}.
Agora observe que \lim_{h\to0}e^{h}=1, logo quando h\to0^{-} a parte e^{h} fica próxima de 1 (positivo e finito). Assim a expressão comporta-se como
e^{5}\cdot\frac{\text{algo próximo de }1}{h^{3}}.ó
Como h^{3}\to0^{-}, o fator \dfrac{1}{h^{3}} diverge para -\infty. Multiplicando por e^{5}>0 mantém o sinal negativo e a divergência em módulo. Portanto o produto tende a -\infty.

Passo 4

Interpretação em palavras simples e incentivo: ao aproximarmos x de 5 vindo da esquerda, o numerador e^{x} fica próximo de um valor positivo e finito ( e^{5}\approx148,413159), enquanto o denominador (x-5)^{3} é um número muito pequeno e negativo. Dividir um número positivo por um número negativo cuja magnitude vai para zero dá um número negativo com magnitude que cresce sem limite. Ou seja, a função “cai” para -\infty à medida que x se aproxima de 5 pela esquerda.

Resposta

-\infty

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