Calcule as integrais a seguir utilizando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, tente dar uma interpretação em termos de áreas para o resultado.
(b) integral0^1(x-1) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral0^1 (x-1),dx usando somas de Riemann e depois confirmar pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos de largura De. Escolhemos como ponto de amostra o extremo direito de cada subintervalo: xi = in com i=1,2,dots,n. A soma de Riemann é
Sn = sumi=1^nl(xi - 1r),De

Passo 3

Agora computamos a soma explicitamente:
Sn = 1n^2sumi=1^n i ;-1n^2sumi=1^n n = 1n^2cdotn(n+1)2 - nn^2cdot n = n+12n - 1 = -12 + 12n

Passo 4

Fazendo ntoinfty temos limntoinftySn = -tfrac12

Passo 5

Agora, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma primitiva de x-1 é
F(x)=x^22-x

Passo 6

Logo
integral0^1(x-1),dx = F(1)-F(0) = l(tfrac12-1r)-0 = -tfrac12

Passo 7

Em termos de áreas, o gráfico de f(x)=x-1 no intervalo [0,1] forma um triângulo abaixo do eixo x com base de comprimento 1 e altura 1. A área desse triângulo é tfrac12, mas como está abaixo do eixo, contribui como -tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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