Nos exercícios a seguir encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0 e^x-1-xx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0dfrace^x - 1 - xx^2. O conteúdo envolvido é de limites, e podemos usar a expansão de Taylor (Maclaurin) de e^x ou, em última instância, a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

A teoria de séries de Taylor diz que, em torno de zero, podemos escrever:
e^x = 1 + x + x^22 + o(x^2) (xto0)

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador temos:
e^x - 1 - x = l(1 + x + x^22 + o(x^2)r) - 1 - x = x^22 + o(x^2)

Passo 4

Agora dividimos por x^2 e observamos o comportamento quando xto0:
e^x - 1 - xx^2 = x^22 + o(x^2)x^2 = 12 + o(x^2)x^2 to 12

Resposta

12

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