Nos exercícios a seguir encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0 5^x-3^xx

Passo 1

A gente tem aqui o limite
limxto05^x-3^xx
que cai no tópico de limites envolvendo exponenciais e, se rolar uma forma 0/0, podemos usar a Regra de LHôspital ou reconhecer que isso equivale ao “derivada em zero” das funções exponenciais.

Passo 2

Vamos checar o que acontece quando x→0: tanto 5^x quanto 3^x viram 1. Então o numerador é 1−1=0 e o denominador é 0, ou seja, forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Como apareceu 0/0, aplicamos a Regra de LHôspital: derivamos numerador e denominador em relação a x. Lembrando que a derivada de a^x é a^x ln(a), temos:
ddx(5^x-3^x)=5^xln5-3^xln3
e o denominador vira 1.

Passo 4

O novo limite fica
limxto0(5^xln5-3^xln3)
Agora basta substituir x=0 e usar 50=30=1, dando ln 5−ln 3.

Resposta

ln5 - ln3

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